次数付き準同型とは? わかりやすく解説

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次数付き準同型

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/04/05 11:07 UTC 版)

次数付きベクトル空間」の記事における「次数付き準同型」の解説

一般添字集合 I に対する I-次数線型空間の間の線型写像 f: V → W が次数付き線型写像であるとは、それが斉次元次数付けを保つとき、すなわち f ( V i ) ⊆ W i ( ∀ i ∈ I ) {\displaystyle f(V_{i})\subseteq W_{i}\quad (\forall i\in I)} を満たすときに言う。次数線型写像のことを、次数線型空間の間の準同型または射とも、あるいは斉次線型写像とも呼ぶ。 係数体および添字集合固定して考えるとき、次数付き線型空間全体次数線型写像を射として圏を成す。 I が可換モノイドであるときには(たとえば自然数集合 ℕ のときはそう)、より一般に任意の i ∈ I に対す斉次性を f ( V j ) ⊆ W i + j ( ∀ j ∈ I ) {\displaystyle f(V_{j})\subseteq W_{i+j}\quad (\forall j\in I)} なる条件によって定義することができる。ここで "+" はモノイド演算とする。さらに I が消約性満足し、したがって適当な可換群埋め込めるときは(たとえば自然数集合 ℕ のときはそう)、I の生成する可換群 A の任意の元 i を次数として斉次線型写像を同じ式(ただし "+" を A の群演算として)で定義できる。とくに、任意の i ∈ I に対し、(−i)-次の斉次準同型は f ( V i + j ) ⊆ W j ( ∀ j ∈ I ) {\displaystyle f(V_{i+j})\subseteq W_{j}\quad (\forall j\in I)} で定義される。ただし、j − i が I に入らないときには f(Vj) := 0 とする。 線型空間からそれ自身への線型写像全体自己準同型環呼ばれる結合多元環を成すのとまった同様にして、次数線型空間上の斉次自己準同型全体は(次数モノイド I に制限しても、群 A の元となることを許しても、それぞれ次数付けられる)結合的な次数付き多元環を成す。

※この「次数付き準同型」の解説は、「次数付きベクトル空間」の解説の一部です。
「次数付き準同型」を含む「次数付きベクトル空間」の記事については、「次数付きベクトル空間」の概要を参照ください。

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