次数環・加群において
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/24 04:55 UTC 版)
中山の補題の次数付きバージョンもある。R を非負整数からなる半群で次数付けられた環とし、 R + {\displaystyle R_{+}} で次数が正の元で生成されたイデアルを表記する。このとき M が十分小さい i に対して M i = 0 {\displaystyle M_{i}=0} であるような R 上の次数加群（特に M が有限生成で R が負の次数の元を含まない）であって R + M = M {\displaystyle R_{+}M=M} であれば、 M = 0 {\displaystyle M=0} である。特に重要なのは R が普通の次数付けによる多項式環で M が有限生成加群の場合である。 証明は次数付きでない場合よりもはるかに簡単である。i を M i ≠ 0 {\displaystyle M_{i}\neq 0} であるような最小の整数ととれば、 M i {\displaystyle M_{i}} は R + M {\displaystyle R_{+}M} に現れないことがわかるので、 M ≠ R + M {\displaystyle M\neq R_{+}M} であるかまたは、そのような i は存在しないすなわち M = 0 {\displaystyle M=0} 。
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