次数付き多元環

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次数付き環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/22 20:34 UTC 版)

数学、特に抽象代数学において、次数付き環（じすうつきかん、英: graded ring; 次数付けられた環）あるいは次数環とは $R_{i}R_{j}\subset R_{i+j}$ を満たすアーベル群 $R_{i}$ の直和として表すことのできる環のことである。多項式環の斉次多項式への分解を一般化した概念である。添え字集合は通常非負の整数の集合か整数の集合であるが、任意のモノイドあるいは群でもよい。直和分解は通常次数化（gradation）あるいは次数付け（grading）と呼ばれる。

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次数付き多元環

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「次数付き環」の記事における「次数付き多元環」の解説

環 R 上の代数 A は環として次数付きのときに次数付き多元環（次数付き代数、graded algebra）である。 R が次数付きでないような一般の場合には（特に R が体であるとき）、自明な次数付けが与えられている（R のすべての元は次数 0 である）と考える。したがって R ⊆ A0 であり各 Ai は R 加群である。 環 R が次数付き環でもあるような場合には、次のことを要求する。 A i R j ⊆ A i + j R i A j ⊆ A i + j . 言い換えると、A が R 上左かつ右次数付き加群であることを要求する。 次数付き多元環の例は数学においてよく現れる。 多項式環。次数 n の斉次元はちょうど次数 n の斉次多項式である。 ベクトル空間 V のテンソル代数 T•V。次数 n の斉次元はランク n のテンソル TnV である。 外積代数 Λ•V および対称代数 S•V もまた次数付き代数である。 任意のコホモロジー論におけるコホモロジー環 H • もまた次数付きであり、Hn たちの直和である。 次数付き代数は可換環論と代数幾何学、ホモロジー代数、そして代数トポロジーにおいてしばしば使われる。1つの例は斉次多項式と射影多様体の緊密な関係である。（cf. 斉次座標環。）