クリフォード代数

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クリフォード代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/03 15:31 UTC 版)

数学において、クリフォード代数 (クリフォードだいすう、英: Clifford algebra) は結合多元環の一種である。K-代数として、それらは実数、複素数、四元数、そしていくつかの他の超複素数系を一般化する。クリフォード代数の理論は二次形式と直交変換の理論と密接な関係がある。クリフォード代数は幾何学、理論物理学、デジタル画像処理を含む種々の分野において重要な応用を持つ。イギリス人幾何学者ウィリアム・キングドン・クリフォードにちなんだ名称である。

最もよく知られたクリフォード代数、あるいは直交クリフォード代数 (ちょっこうクリフォードだいすう、英: orthogonal Clifford algebra) は、リーマンクリフォード代数 (リーマンクリフォードだいすう、英: Riemannian Clifford algebra) とも呼ばれる。

導入と基本的性質

クリフォード代数は二次形式 Q を伴った体 K 上のベクトル空間 V を含み，それによって生成される単位的結合多元環である。クリフォード代数 Cℓ(V, Q) は次の条件を満たす V から生成される「最も自由な」代数である：

$v^{2}=Q(v)1\quad (\forall v\in V),$

（標数≠2 において）Q の代わりに対称双線型形式 ⟨·,·⟩ で考えると、j に対する要求は次のようになる。

$j(v)j(w)+j(w)j(v)=2\langle v,w\rangle 1_{A}\quad (\forall v,w\in V).$

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クリフォード代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/06 14:16 UTC 版)

「スピノール」の記事における「クリフォード代数」の解説

詳細は「クリフォード代数」を参照 クリフォード代数の言葉を用いて、任意のスピン群のスピン表現のすべてを詳細に記述することができる。そしてクリフォード代数の分類（英語版）を通して、それら表現の間の様々な関係が得られる。幾何代数（英語版）の型を導入することによりアド・ホックな構成の必要がほとんどなくなる。 クリフオード代数の性質を用いることにより、スピノルからなる既約空間すべての数と型を決定することができるようになる。この観点でスピノルとは、複素数全体 C 上定義されたクリフオード代数 Cln(C)（あるいはもっと一般的に、実数全体 R 上定義された Clp,q(R) ）の基本表現の元のことである。いくつかの場合には、Spin(p, q) の作用の下でスピノルが既約成分に分かれるのをはっきり見て取ることができる。 詳しく述べれば、V を非退化双線型形式 g を備えた有限次元複素ベクトル空間とするとき、幾何代数 (V, g) のクリフォード代数とは、V によって生成され、反交換関係 xy + yx = 2g(x, y) を基本関係式として定まる代数 Cl(V, g) のことである。これは、ガンマ行列全体あるいはパウリ行列全体の生成する代数の抽象化になっている。クリフォード代数 Cln(C) は、n = dim(V) = 2k のとき、2k-次複素行列環 Mat(2k, C) に、またn = dim(V ) = 2k + 1 のとき、2k-次行列環二つのコピーからなる代数 Mat(2k,C) ⊕ Mat(2k,C) に代数的に同型である。故に、Cln(C) は、2k 次元の、通常 δ で表される唯一つの既約表現を持つ。定義により、このような既約表現（の表現空間）はいずれもスピノルからなる空間で、スピン表現（英語版）と呼ばれる。 クリフォード代数 Cl(V, g) の V に含まれる偶数個のベクトルの積によって生成される部分代数は、直交群のリー代数 so(V, g) を（交換子積のもとで）部分リー代数として含む。従って、Δ は so(V, g) の表現である。n が奇数ならばこの表現は既約である。n が偶数の場合、それは再び「半スピン表現」と呼ばれる2つの既約表現によって Δ = Δ+ ⊕ Δ− と分解される。 V が実ベクトル空間である場合の既約表現は、更に複雑である。詳細はクリフォード代数#スピノルの項を参照のこと。