クリフォード群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/05 19:43 UTC 版)
クリフォード群のクラスはルドルフ・リプシッツ (Rudolf Lipschitz) によって発見された。 このセクションにおいて V は有限次元で二次形式 Q は非退化であると仮定する。 クリフォード代数の元へのその可逆元の群による作用はひねられた共軛 (twisted conjugation) の言葉によって定義できる。x は y ↦ xyα(x)−1 と写す、ただし α は上で定義された main involution、による twisted conjugation。 クリフォード群 Γ はこの作用の下でベクトルを安定化する (stabilize vectors) 可逆元 x の集合として定義される。これが意味するのは V のすべての v に対して： x v α ( x ) − 1 ∈ V . {\displaystyle xv\alpha (x)^{-1}\in V.} この公式はまたノルム Q を保つベクトル空間 V 上のクリフォード群の作用を定義し、従ってクリフォード群から直交群への準同型を与える。クリフォード群はノルムが 0 でない V のすべての元 r を含み、これらは v を v − 2⟨v,r⟩r/Q(r) に持っていく対応する鏡映によって V 上作用する。（標数 2 においてこれらは鏡映ではなく「直交移換」(orthogonal transvection) と呼ばれる。） クリフォード群 Γ は2 つの部分集合 Γ0 と Γ1 の非交和である、ただし Γi は次数 i の元の部分集合である。部分集合 Γ0 は Γ において指数 2 の部分群である。 V が正定値（あるいは負定値）二次形式を持った有限次元実ベクトル空間であればクリフォード群は（カルタン・デュドネの定理によって）その形式に関して V の直交群に全射し核は体 K の 0 でない元からなる。これは次の完全列を導く 1 → K ∗ → Γ → O V ( K ) → 1 , {\displaystyle 1\to K^{*}\to \Gamma \to \operatorname {O} _{V}(K)\to 1,} 1 → K ∗ → Γ 0 → SO V ( K ) → 1. {\displaystyle 1\to K^{*}\to \Gamma ^{0}\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to 1.} 他の体上あるいは不定値形式では、写像は一般には全射ではなく、失敗はスピノルノルムによってとらえられる。
※この「クリフォード群」の解説は、「クリフォード代数」の解説の一部です。
「クリフォード群」を含む「クリフォード代数」の記事については、「クリフォード代数」の概要を参照ください。
- クリフォード群のページへのリンク
