スピン群とピン群

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スピン群とピン群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/05 19:43 UTC 版)

「クリフォード代数」の記事における「スピン群とピン群」の解説

詳細は「スピン群」、「ピン群」、および「スピノル」を参照 本節において V は有限次元でありその双線型形式は非特異であると仮定する。（K が標数 2 であればこれは V の次元が偶数であることを含む。） ピン群 PinV(K) はスピノルノルム ±1 の元のクリフォード群 Γ の部分群であり、同様にスピン群 SpinV(K) は PinV(K) においてディクソン不変量 0 の元の部分群である。標数が 2 でないとき、これらは行列式 1 の元である。スピン群は通常ピン群において指数 2 を持つ。 クリフォード群から直交群への全射準同型が存在することを直前のセクションから思い出そう。特殊直交群を Γ0 の像として定義する。K の標数が 2 でなければこれは単に直交群の行列式 1 の元の群である。K の標数が 2 であれば、直交群のすべての元は行列式 1 をもち、特殊直交群はディクソン不変量 0 の元の集合である。 ピン群から直交群への準同型が存在する。像はスピノルノルム 1 ∈ K*/K*2 の元からなる。核は元 +1 と −1 からなり、K の標数が 2 でなければ位数 2 をもつ。同様にスピン群から V の特殊直交群への準同型が存在する。 V が実数上正あるいは負定値空間である共通の場合において、スピン群は特殊直交群の上へと写り V の次元が少なくとも 3 であれば単連結である。さらにこの準同型の核は 1 と −1 からなる。なのでこの場合スピン群 Spin(n) は SO(n) の二重被覆である。しかしながら、スピン群の単連結性は一般には正しくないことに注意してください： V がともに 2 以上の p, q に対して Rp,q であればスピン群は単連結ではない。この場合代数群 Spinp,q は代数群として単連結である。その実数値点の群 Spinp,q(R) は単連結でないにもかかわらず。これはかなり微妙な点であり、少なくとも 1 冊のスピン群についての標準的な本の著者をすっかり混乱させた。