スピン角運動量演算子の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
「スピン角運動量」の記事における「スピン角運動量演算子の定義」の解説
以上の準備の元、スピン角運動量を定義する。 π : S p i n ( 3 ) → U ( V s ) {\displaystyle \pi ~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (V_{s})} を Spin(3)=SU(2) の Vs上の既約ユニタリ表現とする（そのようなユニタリ表現の存在性と（同型を除いた）一意性は定理3で保証される）。なお s=1/2 に対するVs、πs は(H1)、(H2)にすでに記載した。それ以外のsに対するVs、πs は次節以降に後述する。 さらに Φ 3 : S p i n ( 3 ) → S O ( 3 ) {\displaystyle \Phi _{3}~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {SO} (3)} を(C1)式で述べた、Spin(3) から SO(3)への 2:1 写像とする（この写像の具体的な形は(E1)式を参照）。これらの写像を図にすると以下のとおりである。ここで記号「 G ↷ V {\displaystyle G{}^{\curvearrowright }V} 」はGがベクトル空間V上の行列群である事を意味する（すなわちGはVに作用する）。 S p i n ( 3 ) → π U ( V s ) ↷ V s Φ 3 ↓ S O ( 3 ) ↷ R 3 {\displaystyle {\begin{array}{rl}\mathrm {Spin} (3)&{\xrightarrow {~~~~~\pi ~~~~~}}{}\mathrm {U} (V_{s}){}^{\curvearrowright }V_{s}\\\Phi _{3}\downarrow &\\SO(3)&{}^{\curvearrowright }\mathbf {R} ^{3}\end{array}}} πs が誘導する写像 (πs)*を以下のように定義する： π ∗ : d U ( t ) d t | t = 0 ∈ s p i n ( 3 ) = s u ( 2 ) ↦ d π s ( U ( t ) ) d t | t = 0 ∈ { V s {\displaystyle \pi _{*}~:~\left.{\operatorname {d} U(t) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}\in {\mathsf {spin}}(3)={\mathsf {su}}(2)\mapsto \left.{\operatorname {d} \pi _{s}(U(t)) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}\in \{V_{s}} 上のエルミート演算子 } {\displaystyle \}} …(F1) 同様に Φ3 が誘導する(Φ3)* を(D1)式のように定義すると、(Φ3)* は(D2)式のように書け、(D3)より ( Φ 3 ) ∗ : s p i n ( 3 ) → ∼ s o ( 3 ) {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}~:~{\mathsf {spin}}(3){\overset {\sim }{\to }}{\mathsf {so}}(3)} である。 単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ R3に対し無限小回転 Xn ∈ su(2) を(L6)式のように定義し、合成写像 X n ∈ s p i n ( 3 ) → ( π s ) ∗ { V s {\displaystyle X_{\boldsymbol {n}}\in {\mathsf {spin}}(3){\overset {(\pi _{s})_{*}}{\to }}\{V_{s}} 上の歪エルミート演算子 } → × i ℏ { V s {\displaystyle \}{\overset {\times i\hbar }{\to }}\{V_{s}} 上のエルミート演算子 } {\displaystyle \}} によって定まるエルミート演算子 S ^ n = i ℏ ⋅ ( π s ) ∗ ( X n ) {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })} …(F2) を考えると、(D2)より、 S ^ n = i ℏ ⋅ ( π s ) ∗ ( X n ) = i ℏ ⋅ ( π s ) ∗ ( ( Φ 3 ) ∗ − 1 ( F n ) ) {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}((\Phi _{3})_{*}{}^{-1}(F_{\mathbf {n} }))} と書けるので、 S ^ n {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }} は3次元空間上の無限小回転Fnに対応する演算子とみなせる。 この S ^ n {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }} を、nを回転軸にもつスピン角運動量演算子と呼ぶ:p50-51,60。
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