被覆空間とは？わかりやすく解説

被覆写像 p : Y → X によって底空間 X の開集合 U は被覆空間 Y の同相な開集合 S₁, S₂, S₃, … によって「均一に被覆」されている。

数学、特に代数トポロジーにおいて、被覆写像(covering map)あるいは被覆射影(covering projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。

被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する： X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と基本群 π₁(X) の共役な部分群の類全体との間に全単射が存在する（被覆の分類定理）^[1]。

定義

位相空間 C から X への連続全射 p : C → X が被覆写像であるとは、すべての点 x ∈ X に対し x の開近傍 U が存在し、逆像 p⁻¹(U) が共通部分をもたない C の開集合の和集合で表され、各開集合が p の制限写像により U と同相であることをいう^[2]。このとき C を被覆空間、 X を底空間という。被覆写像や被覆空間のことを単に被覆と呼ぶこともある。

底空間の点 x における逆像 p⁻¹(x) は x 上のファイバーと呼ばれ、離散空間となる^[2]。

定義中に現れる点 x の特別な開近傍 U は、均一被覆近傍^{[訳語疑問点]}と言う。均一被覆近傍は、空間 X の開被覆となる。均一被覆近傍 U の C における同相なコピーを、U 上のシートと言う。一般に図示するときには、被覆空間 C は底空間 X 上に「浮いて」いて、 p が「下向き」に写像し、U 上のシートは、U の「真上方向に水平に積み重なって」いて、x 上のファイバーは、x の「真上」にある C の点であることが多い。特に、被覆写像は局所的には自明である。このことは局所的には、均一被覆近傍 U の逆像 p⁻¹(U) の U × F の上への準同型 h が、各々の被覆写像が射影と同型であることを意味する。ここに F はファイバーであり、局所自明化条件、つまり、U の上への U × F から U の上への射影 π : U × F → U に対して、射影 π と準同型 h との合成は、前像 p⁻¹(U) から U 上への写像 π ∘ h であり、従って、導かれた合成 π ∘ h は p に局所的に（p⁻¹(U) の中では）等しい。