多様体の被覆
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/30 08:01 UTC 版)
被覆は局所同相であるので、n-次元位相多様体の被覆は n-次元多様体である。（被覆空間が第二可算であることは、多様体の基本群がいつも可算であるという事実より証明することができる。）しかし、n-次元多様体で覆われた空間は、非ハウスドルフ空間かもしれない。例えば、C を原点を取り去った平面とし、X を全ての点 (x, y) を (2x, y/2) で同一視する。p : C → X が商写像とすると、f(x, y) = (2x, y/2) で生成される C への Z の作用は固有不連続（英語版）(properly discontinuous)であるので、被覆である。点 p(1, 0) と p(0, 1) は X の中では切り離されるような近傍を持たない。 微分可能多様体の任意の被覆空間は、p （問題の被覆写像）を局所微分同相、つまり、ランク（英語版）(rank)へ変えるような自然な微分構造を持っているかもしれない。
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