多様体の構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/23 08:58 UTC 版)
ある斉次座標 [x0 : x1 : ... : xn] に対して、x0 ≠ 0 となる射影空間 KPn の点全体 U0 は、斉次座標の最初の成分を x0 で割って [1 : x1 / x0 : ... : xn / x0] とただ一通りに書けるので、U0 は、アフィン空間 Kn と自然な全単射がある。同様に xi ≠ 0 となる点全体 Ui も同様にしてアフィン空間との間の全単射 φi: Kn → Ui がある。K が位相体であるときは全単射 φi は位相同型となり、U0, ..., Un は KPn の開被覆となる。φj−1 ◦ φi が ( a 1 , … , a n ) ↦ ( a 1 a j , … , 1 a j , … , a n a j ) {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \left({\frac {a_{1}}{a_{j}}},\ldots ,{\frac {1}{a_{j}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{a_{j}}}\right)} で与えられる（1/aj は第 i 成分）ことから、この開被覆は RPn に多様体の構造（実射影空間）を、CPn に複素多様体の構造（複素射影空間）を与える。変換関数が有理関数で与えられる事から、任意の体 K に対しても、ザリスキ位相を考える事によって KPn は代数多様体となる。 射影空間の概念は純粋に代数的であり非常に標準的であるため、適切な枠組みを用いる事によって、その性質は体 K の取り方によらず共通しているものが多い。以下の記述は特に断らない限り、スキーム論の枠組みを用いる事で任意の体上の代数多様体としての射影空間に対して成り立つが、代数幾何学以外で重要な場合は体 K が実数体 R または複素数体 C の場合であるので、実射影空間および複素射影空間の場合に則した記述を行う。
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