ヒルベルトの第五問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/24 00:52 UTC 版)
位相群とリー群との間の関係について、いくつか強力な結果が存在する。まず、リー群の間の任意の連続準同型 G → H は滑らかになる。これにより、位相群がリー群の構造を持つならば、その構造は一意に決まる。また、カルタンの定理（英語版）は、リー群の任意の閉部分群がリー部分群、特に滑らかな部分多様体となることを述べる。 ヒルベルトの第五問題（英語版）は、位相多様体の構造を持つ位相群 G がリー群となるか（つまり、滑らかな多様体の構造が入り、群演算が滑らかであるようにできるか）を問うものである。この問題はGleason, Montgomery, Zippinらによって肯定的に解決された。実は G は実実解析的構造（英語版）を持つ。この可微分構造を用いて、G のリー環を定義することができる（これは被覆空間の違いを除いて連結群 G を決定する線型代数学的な対象である）。結果として、ヒルベルトの第五問題の解は、位相多様体であるような位相群の分類という代数的な問題に帰着されたが、一般には複雑な問題である。 この定理は位相群の広範なクラスに対しても帰結を持つ。まず、任意のコンパクト群（ハウスドルフと仮定する）はコンパクトリー群の射影極限である。その重要な場合の一つが射有限群と呼ばれる有限群の射影極限で、例えば p-進整数全体の成す加法群 Zp や、体の絶対ガロワ群（英語版）は射有限群である。さらに任意の連結局所コンパクト群が、連結リー群の射影極限になる。他の極端な例で、完全不連結局所コンパクト群（TDLC群）は常にコンパクト開部分群を含み、それは射有限群である必要がある。例えば、局所コンパクト群 GL(n,Qp) はコンパクト開部分群 GL(n,Zp)（これは有限群 GL(n,Z/pr) の r → ∞ の射影極限）を含む。
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