ヒルベルトスキームと超ケーラー幾何学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/26 17:23 UTC 版)
「ヒルベルトスキーム」の記事における「ヒルベルトスキームと超ケーラー幾何学」の解説
M を c1 = 0 である複素ケーラー曲面（K3曲面、もしくはトーラス）とすると、小平の曲面の分類に従い、M の標準バンドルは自明である。よって、M は正則なシンプレクティック形式を持つ。藤木明（英語版）(Akira Fujiki)（n = 2 の場合）とアルナウ・ベルヴィル（英語版）(Arnaud Beauville)により、M[n] も正則なシンプレクティックとなることが確認された。n = 2に対しては、このことはさほどは難しくない。実際、M[2] は M の二重対称積のブローアップである。Sym2 M の特異点は、局所的に C2 × C2/{±1} と同型である。C2/{±1} のブローアップは、T ∗P1(C) であり、この空間はシンプレクティックである。このことはシンプレクティック形式は自然に M[n] の例外因子の滑らかな部分へ拡張される。M[n] の残りの部分は、ハルトークスの拡張定理により拡張される。 正則なシンプレクティックケーラー多様体は、超ケーラーであることは、カラビ・ヤウの定理より得られる。K3曲面や 4-次元次トーラス上の点のヒルベルトスキームは、超ケーラー多様体の例、K3曲面の点のヒルベルトスキームと一般化されたクンマー多様体をもたらす。
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