ヒルベルト次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)
ツォルンの補題の帰結として、「任意の」ヒルベルト空間が少なくとも一つの正規直交基底を持つことが分かる。さらに、一つの空間ではどの二つの正規直交基底も必ず同じ濃度を持つことが示されるので、その濃度をしてその空間のヒルベルト次元と呼ぶ 例えば、B 上の自乗総和可能数列の空間 ℓ2(B) は B で添字づけられる正規直交基底を持つから、そのヒルベルト次元は B の濃度（これは有限な整数かもしれないし、可算あるいは非可算の基数であるかもしれない）である。 パーセヴァルの等式の帰結として、{ek}k ∈ B が H の正規直交基底ならば、Φ(x) := (⟨x, ek⟩)k∈B で定まる写像 Φ: H → ℓ2(B) はヒルベルト空間の等距同型、即ち、全単射な線型写像であって、H の各元 x, y に対して ⟨ Φ ( x ) , Φ ( y ) ⟩ ℓ 2 ( B ) = ⟨ x , y ⟩ H {\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle _{\ell ^{2}(B)}=\langle x,y\rangle _{H}} を満たすことがわかる。B の濃度は H のヒルベルト次元に等しい。従って、任意のヒルベルト空間は、適当な集合 B に対する数列空間 ℓ2(B) に等距同型である。
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