ヒルベルト空間の一意性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「ヒルベルト空間の一意性」の解説
ヒルベルト空間 H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} 、 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} に対し、全単射線形写像 Φ : H 1 → H 2 {\displaystyle \Phi ~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} で ⟨ Φ ( ψ ) , Φ ( χ ) ⟩ = ⟨ ψ , χ ⟩ {\displaystyle \langle \Phi (\psi ),\Phi (\chi )\rangle =\langle \psi ,\chi \rangle } が全ての ψ , χ ∈ H 1 {\displaystyle \psi ,\chi \in {\mathcal {H}}_{1}} に対して成立するものが存在するとき、 H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} と H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} は同型であるという。 可分な無限次元ヒルベルト空間は同型を除いて１つしか存在しない。すなわち以下が成立する： 定理 (可分なヒルベルト空間の一意性) ― H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} 、 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} を任意の可分な無限次元ヒルベルト空間とするとき、 H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} と H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} は同型である。 前述のように本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを取り扱う。よって本項で登場するヒルベルト空間で次元が無限のものは全て同型である。
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