ヒルベルト空間とフーリエ級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 07:47 UTC 版)
「フーリエ級数」の記事における「ヒルベルト空間とフーリエ級数」の解説
ヒルベルト空間 X と、その正規直交系 {ek} を考える。 x ∈ X に対して、その内積 ⟨ x , e k ⟩ {\displaystyle \langle x,e_{k}\rangle } のことをフーリエ係数という。この時、ベッセルの不等式 ‖ x ‖ 2 2 ≥ ∑ k | ⟨ x , e k ⟩ | 2 {\displaystyle \|x\|_{2}^{2}\geq \sum _{k}\left|\langle x,e_{k}\rangle \right|^{2}} が成り立つ。 さらに {ek} が X の基底となっていれば、三角級数のときと同様に級数 ∑ k ⟨ x , e k ⟩ e k = ⟨ x , e 1 ⟩ e 1 + ⟨ x , e 2 ⟩ e 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{k}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}=\left\langle x,e_{1}\right\rangle e_{1}+\left\langle x,e_{2}\right\rangle e_{2}+\cdots } が考えられ、これも同じようにフーリエ級数という。この級数が、元の x に等しいとき、フーリエ展開できるという。そしてこの時、プランシュレルの等式 ‖ x ‖ 2 2 = ∑ k | ⟨ x , e k ⟩ | 2 {\displaystyle \|x\|_{2}^{2}=\sum _{k}\left|\langle x,e_{k}\rangle \right|^{2}} が成り立つ。 ヒルベルト空間 X について、 任意の x ∈ X がフーリエ展開できること 任意の x ∈ X に対し、プランシュレルの等式が成り立つこと {ek} が X の正規直交基底であること の 3つは互いに同値な条件である。
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