フーリエ級数
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フーリエ級数（フーリエきゅうすう、英語: Fourier series）とは、複雑な周期関数や周期信号を単純な形の周期性をもつ関数の無限和（級数）によって表したものである。フーリエ級数は、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエによって金属板の中での熱伝導に関する研究の中で導入された。
熱伝導方程式は、偏微分方程式として表される。フーリエの研究の前までには、一般的な形での熱伝導方程式の解法は知られておらず、熱源が単純な形である場合、例えば正弦波などの場合の特別な解しかえられていなかった。この特別な解は現在では固有解と呼ばれる。フーリエの発想は、複雑な形をした熱源をサイン波、コサイン波の線型結合として考え、解を固有解の和として表すものであった。 この重ね合わせがフーリエ級数と呼ばれる。
最初の動機は熱伝導方程式を解くことであったが、数学や物理の他の問題にも同様のテクニックが使えることが分かり様々な分野に応用されている。 フーリエ級数は、電気工学、振動の解析、音響学、光学、信号処理、量子力学および経済学[1]などの分野で用いられている。
概要
フーリエ級数は、関数に対して定義されるフーリエ係数を用いて
フーリエ展開
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「実解析的アイゼンシュタイン級数」の記事における「フーリエ展開」の解説
実解析的アイゼンシュタイン級数の上記の性質、つまり、H 上のラプラシアンを使った E(z,s) と E*(z,s) の函数等式は、E(z,s) が次のフーリエ展開を持つという事実から示すことができる。 E ( z , s ) = y s + ζ ^ ( 2 s − 1 ) ζ ^ ( 2 s ) y 1 − s + 4 ζ ^ ( 2 s ) ∑ m = 1 ∞ m s − 1 / 2 σ 1 − 2 s ( m ) y K s − 1 / 2 ( 2 π m y ) cos ( 2 π m x ) , {\displaystyle E(z,s)=y^{s}+{\frac {{\hat {\zeta }}(2s-1)}{{\hat {\zeta }}(2s)}}y^{1-s}+{\frac {4}{{\hat {\zeta }}(2s)}}\sum _{m=1}^{\infty }m^{s-1/2}\sigma _{1-2s}(m){\sqrt {y}}K_{s-1/2}(2\pi my)\cos(2\pi mx)\ ,} ここに、 ζ ^ ( s ) = π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) , {\displaystyle {\hat {\zeta }}(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma {\biggl (}{\frac {s}{2}}{\biggr )}\zeta (s)\ ,} σ s ( m ) = ∑ d | m d s , {\displaystyle \sigma _{s}(m)=\sum _{d|m}d^{s}\ ,} であり、 K s ( z ) = 1 2 ∫ 0 ∞ exp ( − z 2 ( u + 1 u ) ) ⋅ u s − 1 d u ∼ π 2 z e − z , ( z → ∞ ) {\displaystyle {\begin{aligned}K_{s}(z)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp {\biggl (}-{\frac {z}{2}}\left(u+{\frac {1}{u}}\right){\biggr )}\cdot u^{s-1}du\\&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (z\rightarrow \infty )\end{aligned}}} は、 変形されたベッセル函数である。
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