フーリエ級数

デジタル大辞泉

フーリエ‐きゅうすう〔‐キフスウ〕【フーリエ級数】

読み方：ふーりえきゅうすう

ある複雑な周期関数を、三角関数のような単純な周期関数の級数として表したもの。フランスの数学者フーリエによって導出。関数は区分的に連続かつ微分可能で滑らかであれば、級数は収束する。

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フーリエ級数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/07 16:37 UTC 版)

方形波(青線)とフーリエ級数による近似(赤線)。最初の4項まで。

フーリエ級数（フーリエきゅうすう、英語: Fourier series）とは、複雑な周期関数や周期信号を単純な形の周期性をもつ関数の無限和（級数）によって表したものである。フーリエ級数は、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエによって金属板の中での熱伝導に関する研究の中で導入された。

熱伝導方程式は、偏微分方程式として表される。フーリエの研究の前までには、一般的な形での熱伝導方程式の解法は知られておらず、熱源が単純な形である場合、例えば正弦波などの場合の特別な解しかえられていなかった。この特別な解は現在では固有解と呼ばれる。フーリエの発想は、複雑な形をした熱源をサイン波、コサイン波の線型結合として考え、解を固有解の和として表すものであった。 この重ね合わせがフーリエ級数と呼ばれる。

最初の動機は熱伝導方程式を解くことであったが、数学や物理の他の問題にも同様のテクニックが使えることが分かり様々な分野に応用されている。 フーリエ級数は、電気工学、振動の解析、音響学、光学、信号処理、量子力学および経済学^[1]などの分野で用いられている。

概要

フーリエ級数は、関数に対して定義されるフーリエ係数を用いて

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {4A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{1-n^{2}}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&2AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$

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フーリエ級数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 07:36 UTC 版)

「アイゼンシュタイン級数」の記事における「フーリエ級数」の解説

q = e 2 π i τ と定義する。（古い書籍では、q をノーム(nome) q = e i π τ として定義してあるものもあるが、現在では q = e 2 π i τ が数論では標準的である。）するとアイゼンシュタイン級数のフーリエ級数は、 G 2 k ( τ ) = 2 ζ ( 2 k ) ( 1 + c 2 k ∑ n = 1 ∞ σ 2 k − 1 ( n ) q n ) であり、ここにフーリエ係数 c2k は、 c 2 k = ( 2 π i ) 2 k ( 2 k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) = − 4 k B 2 k = 2 ζ ( 1 − 2 k ) . で与えられる。 ここに、Bn はベルヌーイ数であり、ζ(z) はリーマンゼータ函数であり、σp(n) は約数函数で、n の約数の p 乗の和である。特に、 G 4 ( τ ) = π 4 45 [ 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ σ 3 ( n ) q n ] G 6 ( τ ) = 2 π 6 945 [ 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ σ 5 ( n ) q n ] . を得る。 n を渡る和の部分は、ランベルト級数（英語版）(Lambert series)として表すことができる。すなわち、任意の複素数 |q| ≤ 1 と a に対して、 ∑ n = 1 ∞ q n σ a ( n ) = ∑ n = 1 ∞ n a q n 1 − q n を得る。アイゼンシュタイン級数のq-展開(q-expansion)を考えると、別な表し方である。 E 2 k ( τ ) = G 2 k ( τ ) 2 ζ ( 2 k ) = 1 + 2 ζ ( 1 − 2 k ) ∑ n = 1 ∞ n 2 k − 1 q n 1 − q n = 1 − 4 k B 2 k ∑ d , n ≥ 1 n 2 k − 1 q n d が良くつかわれる。