複素数値関数のフーリエ級数（複素フーリエ級数）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 07:47 UTC 版)
「フーリエ級数」の記事における「複素数値関数のフーリエ級数（複素フーリエ級数）」の解説
オイラーの公式を用いると、複素数型のフーリエ級数を得ることができる。f も複素数値に取ることができ c n = 1 2 π ∫ − π π f ( t ) exp ( − i n t ) d t , ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\exp(-int)dt,\left(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)} を、f のフーリエ係数 (Fourier coefficient) といい、これを用いて書かれた多項式 ∑ n = − m m c n e i n x {\displaystyle \sum _{n=-m}^{m}c_{n}e^{inx}} を、m 次のフーリエ多項式 (Fourier polynomial) という。この m を +∞ にした極限 ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n x = lim m → + ∞ ∑ n = − m m c n e i n x {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}=\lim _{m\to +\infty }\sum _{n=-m}^{m}c_{n}e^{inx}} をフーリエ級数という。左辺は ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n x = lim k , m → + ∞ ∑ n = − k m c n e i n x {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}=\lim _{k,m\to +\infty }\sum _{n=-k}^{m}c_{n}e^{inx}} の意味ではないことに注意しなければならない。
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