複素数平面の合併としての H
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/09 07:36 UTC 版)
「四元数」の記事における「複素数平面の合併としての H」の解説
−1 の平方根のどの二つをとっても、四元数の中で複素数の相異なる複製を作ることができる。 q2 = −1 とすれば、そのような複製は写像 a + b − 1 ↦ a + b q {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}\mapsto a+bq} によって決定される。抽象代数学の言葉でいえば、それぞれが C から H への単射環準同型（埋め込み）である。q と −q に対応する埋め込みの像は集合としては同じになる。 任意の実でない四元数は C に同型な H の部分空間上にあることを見よう。四元数 q をスカラー部とベクトル部の和として q = q s + q → v {\displaystyle q=q_{s}+{\vec {q}}_{v}} とし、さらにベクトル部をノルムとベルソルの積に分解（極分解）して、 q = q s + ‖ q → v ‖ ⋅ U q → v {\displaystyle q=q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert \cdot \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}} と書く（これは qs + ‖ q ‖Uq とは異なることに注意）。q のベクトル部のベルソル Uq→v は純虚な単位四元数ゆえ、その平方は −1 である。従ってこれから、写像 a + b − 1 ↦ a + b U q → v {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}\mapsto a+b\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}} によって複素数の複製が得られるが、この写像の下で q は複素数 qs + ‖ q→v ‖i の像になる。 以上から、H は実数直線を共通の交わりとして持つ無数の複素数平面の合併であることが分かる。ただし、この合併は −1 の平方根の成す球面全体を（球面の対蹠点が同じ平面に対応することを踏まえた上で）わたって取ったものである。
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