複素正弦平面波を用いた実正弦平面波の重ね合わせ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/04 15:43 UTC 版)
「平面波」の記事における「複素正弦平面波を用いた実正弦平面波の重ね合わせ」の解説
aj , θj (j = 1, 2, ... , m )を実定数（ただし aj ≥ 0）としたときに、重ね合わせ ∑ j = 1 m a j cos i θ j {\displaystyle \sum _{j=1}^{m}a_{j}\cos i\theta _{j}} を計算する問題を考える。 オイラーの公式より、複素数をベクトルのように表記して a j exp i θ j = a j ( cos θ j sin θ j ) {\displaystyle a_{j}\exp i\theta _{j}=a_{j}{\begin{pmatrix}\cos \theta _{j}\\\sin \theta _{j}\end{pmatrix}}} (2-1) と見なすことができる。 式(2-1)の右辺に、ベクトルの平行四辺形則を適用すると { a = | ∑ j = 1 m a j exp i θ j | θ = arg ∑ j = 1 m a j exp i θ j {\displaystyle {\begin{cases}a=\left|\sum \limits _{j=1}^{m}a_{j}\exp i\theta _{j}\right|\\\theta =\arg \sum \limits _{j=1}^{m}a_{j}\exp i\theta _{j}\\\end{cases}}} (2-2) a cos θ = ∑ j = 1 m a j cos i θ j {\displaystyle a\cos \theta =\sum _{j=1}^{m}a_{j}\cos i\theta _{j}} ( exp i k θ ) ∗ = exp ( − i k θ ) {\displaystyle (\exp ik\theta )^{*}=\exp(-ik\theta )} a 2 = ∑ j = 1 m a j exp i θ j ∑ l = 1 m a l exp ( − i θ j ) = ∑ j , l = 1 m a j a l exp i ( θ j − θ l ) {\displaystyle a^{2}=\sum _{j=1}^{m}a_{j}\exp i\theta _{j}\sum _{l=1}^{m}a_{l}\exp(-i\theta _{j})=\sum _{j,l=1}^{m}a_{j}a_{l}\exp i(\theta _{j}-\theta _{l})} (2-3) { a 2 = ∑ j , l = 1 m a j a l exp i ( θ j − θ l ) θ = arg ∑ j = 1 m a j exp i θ j {\displaystyle {\begin{cases}a^{2}=\sum \limits _{j,l=1}^{m}a_{j}a_{l}\exp i(\theta _{j}-\theta _{l})\\\theta =\arg \sum \limits _{j=1}^{m}a_{j}\exp i\theta _{j}\end{cases}}} (2-2’) と変形できる。従って、重ね合わせを計算する問題は、式(2-2’)を求める問題に帰着される。計算上の便宜としての複素正弦波を持ち出す最大の理由は、式(2-2)から(2-2’)（特に振幅の関係式）が導き出せることにある。 一般には、これ以上簡単な形に変形することは難しいが、いくつかの特殊な場合には振幅の項あるいは位相項の片方あるいは両方がより簡単な形になる。例えば θ 1 = k ⋅ x − ω t θ 2 = k ⋅ x − ω t + δ m = 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\theta _{1}={\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t\\&\theta _{2}={\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t+\delta \\&m=2\end{aligned}}} a = a 1 2 + a 2 2 + 2 a 1 a 2 cos δ {\displaystyle a={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+2a_{1}a_{2}\cos \delta }}} となる。この問題は、2つの位相差のある平面正弦波の重ねあわせの問題である。
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