平面波
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平面波（へいめんは、英: Plane wave）[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12]とは、等位相面が波数ベクトルを法線ベクトルとする等値平面から成る周期関数のことである。
平面波の定義
平面波と呼ばれる関数には、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」がある。「時間変数を持たない平面波」は、周期関数のフーリエ級数展開や、フーリエ変換、時間発展のないシュレーディンガー方程式の計算に用いられる。「時間変数を持つ平面波」は、波動方程式の解として現れる。
通常、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」は、区別されずに混同されて用いられるが、異なるものなので、曖昧さを回避する観点から区別が必要な場合には、用語を使い分けることにする。それぞれの用語の定義は以下に行う。
また、本稿では、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」の総称として「平面波」という用語を用いることにする。
時間変数を持たない平面波
実数または複素数に値を取る実 d 変数関数 Ψ が時間変数を持たない平面波であるとは、周期 2π の実1変数の周期関数 f と、波数ベクトルと言われる d 次元実定数ベクトル k（但し k ≠ 0）を用いて、
この節は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。（2017年5月）波動関数は、基底関数で展開した形で記述することができる。この時に用いられる基底の1つに平面波基底（英: Plane wave basis）がある。バンド計算における表式化が比較的簡単で（それ故、プログラムも構築し易い）力やストレスの計算も他の基底（局在基底など）を使った場合より容易に実現が可能である。また、平面波基底では、Pulay補正項の問題が回避できることも利点のひとつである。
欠点として、例えば波動関数や電荷密度への寄与の s, p, d 軌道毎への分割や、ユニットセル内の特定の原子の電荷を求めることが困難になることが挙げられる。
脚注
注釈
- ^ 文献によっては最初の成分を時間変数にする場合もある。
出典
- ^ 青本 和彦, 他 編『岩波 数学入門辞典』岩波書店、2005年。
- ^ 溝畑 茂『偏微分方程式論』岩波書店、2002年。
- ^ 金子 晃『偏微分方程式入門』東京大学出版会、1998年。
- ^ アシュクロフト; マーミン 著、松原 武生, 町田 一成 訳『固体物理の基礎 上・1 固体電子論概論 (物理学叢書 46)』吉岡書店、1981年1月。
- ^ チャールズ キッテル 著、宇野 良清, 新関 駒二郎, 山下 次郎, 津屋 昇, 森田 章 訳『キッテル 固体物理学入門』（8版）丸善、2005年12月。
- ^ 田中 信夫『電子線ナノイメージング―高分解能TEMとSTEMによる可視化 (材料学シリーズ)』内田老鶴圃、2009年4月。
- ^ 今野 豊彦『物質からの回折と結像―透過電子顕微鏡法の基礎』共立出版、2003年。
- ^ 日本表面科学会 編『ナノテクノロジーのための表面電子回折法 (表面分析技術選書)』丸善、2003年3月。
- ^ 『物質科学のための量子力学』三共出版、2002年11月。
- ^ 塚田 捷『物性物理学 (裳華房フィジックスライブラリー)』裳華房、2007年3月25日。
- ^ 小口 多美夫『バンド理論―物質科学の基礎として (材料学シリーズ)』内田老鶴圃、1999年7月。
- ^ ファインマン 著、富山小太郎 訳『ファインマン物理学〈2〉光・熱・波動』（新装）岩波書店、1986年2月7日。
- ^ 清水明『量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』（新版）サイエンス社〈新物理学ライブラリ〉、2004年4月。ISBN 4-7819-1062-9。
- ^ 北野正雄『量子力学の基礎』共立出版、2010年1月。ISBN 978-4-320-03462-4。
関連項目
平面波
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/22 03:02 UTC 版)
x {\displaystyle x} 軸に沿って伝播する音波は1次元波動方程式 ( − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∂ ∂ x 2 ) p = 0 {\displaystyle \left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}\right)p=0} を満足し、その一般解は f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} を任意関数として p ( t , x ) = f ( x − c t ) + g ( x + c t ) {\displaystyle p(t,x)=f(x-ct)+g(x+ct)} と表示できる。これを平面波と呼び、 f {\displaystyle f} が x {\displaystyle x} 軸正の向きに伝播する平面波、 g {\displaystyle g} が負の向きに伝播する平面波を表す。この平面波に対応する流体速度場は v x ( t , x ) = 1 ρ c f ( x − c t ) − 1 ρ c g ( x + c t ) {\displaystyle v_{x}(t,x)={\frac {1}{\rho c}}f(x-ct)-{\frac {1}{\rho c}}g(x+ct)} である。より一般に単位ベクトル n {\displaystyle \mathbf {n} } の向きに伝播する平面波 p {\displaystyle p} および対応する速度場 v {\displaystyle \mathbf {v} } は p ( t , x ) = f ( n ⋅ n − c t ) , v = n ρ c p ( t , x ) {\displaystyle p(t,x)=f(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} -ct),\ \ \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {n} }{\rho c}}p(t,x)} により与えられる。 特に、 x {\displaystyle x} 軸正の向きに伝播する単色平面波は p ( t , x ) = | P | cos { k ( x − c t ) + ϕ 0 } = R e { P e i k ( x − c t ) } {\displaystyle p(t,x)=|P|\cos\{k(x-ct)+\phi _{0}\}=\mathrm {Re} \left\{Pe^{ik(x-ct)}\right\}} と書ける。ここに ϕ 0 {\displaystyle \phi _{0}} は音波の位相に関する定数であり、 P = | P | e i ϕ 0 {\displaystyle P=|P|e^{i\phi _{0}}} は複素振幅である。また k {\displaystyle k} は音波の波数であり、波長 λ {\displaystyle \lambda } および角振動数 ω {\displaystyle \omega } と k = 2 π λ = ω c {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {\omega }{c}}} という関係にある。
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