平面波基底とは？わかりやすく解説

平面波（へいめんは、英: Plane wave）^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]とは、等位相面が波数ベクトルを法線ベクトルとする等値平面から成る周期関数のことである。

平面波の定義

平面波と呼ばれる関数には、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」がある。「時間変数を持たない平面波」は、周期関数のフーリエ級数展開や、フーリエ変換、時間発展のないシュレーディンガー方程式の計算に用いられる。「時間変数を持つ平面波」は、波動方程式の解として現れる。

通常、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」は、区別されずに混同されて用いられるが、異なるものなので、曖昧さを回避する観点から区別が必要な場合には、用語を使い分けることにする。それぞれの用語の定義は以下に行う。

また、本稿では、「時間変数を持たない平面波」と、「時間変数を持つ平面波」の総称として「平面波」という用語を用いることにする。

時間変数を持たない平面波

実数または複素数に値を取る実 $d$ 変数関数 $Ψ$ が時間変数を持たない平面波であるとは、周期 $2 π$ の実1変数の周期関数 $f$ と、波数ベクトルと言われる $d$ 次元実定数ベクトル $k$ （但し $k \neq 0$ ）を用いて、

\Psi ({\boldsymbol {x}})=f(2\pi {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}})

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波動関数は、基底関数で展開した形で記述することができる。この時に用いられる基底の1つに平面波基底（英: Plane wave basis）がある。バンド計算における表式化が比較的簡単で（それ故、プログラムも構築し易い）力やストレスの計算も他の基底（局在基底など）を使った場合より容易に実現が可能である。また、平面波基底では、Pulay補正項の問題が回避できることも利点のひとつである。

欠点として、例えば波動関数や電荷密度への寄与の s, p, d 軌道毎への分割や、ユニットセル内の特定の原子の電荷を求めることが困難になることが挙げられる。

脚注

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注釈

^ 文献によっては最初の成分を時間変数にする場合もある。

出典

^ 青本和彦, 他編『岩波数学入門辞典』岩波書店、2005年。
^ 溝畑茂『偏微分方程式論』岩波書店、2002年。
^ 金子晃『偏微分方程式入門』東京大学出版会、1998年。
^ アシュクロフト; マーミン著、松原武生, 町田一成訳『固体物理の基礎上・1 固体電子論概論 (物理学叢書 46)』吉岡書店、1981年1月。
^ チャールズキッテル著、宇野良清, 新関駒二郎, 山下次郎, 津屋昇, 森田章訳『キッテル固体物理学入門』（8版）丸善、2005年12月。
^ 田中信夫『電子線ナノイメージング―高分解能TEMとSTEMによる可視化 (材料学シリーズ)』内田老鶴圃、2009年4月。
^ 今野豊彦『物質からの回折と結像―透過電子顕微鏡法の基礎』共立出版、2003年。
^ 日本表面科学会編『ナノテクノロジーのための表面電子回折法 (表面分析技術選書)』丸善、2003年3月。
^ 『物質科学のための量子力学』三共出版、2002年11月。
^ 塚田捷『物性物理学 (裳華房フィジックスライブラリー)』裳華房、2007年3月25日。
^ 小口多美夫『バンド理論―物質科学の基礎として (材料学シリーズ)』内田老鶴圃、1999年7月。
^ ファインマン著、富山小太郎訳『ファインマン物理学〈2〉光・熱・波動』（新装）岩波書店、1986年2月7日。
^ 清水明『量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』（新版）サイエンス社〈新物理学ライブラリ〉、2004年4月。ISBN 4-7819-1062-9。
^ 北野正雄『量子力学の基礎』共立出版、2010年1月。 ISBN 978-4-320-03462-4。

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平面波

平面波の定義

時間変数を持たない平面波

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