フーリエ級数を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/01 09:58 UTC 版)
「三角関数の無限乗積展開」の記事における「フーリエ級数を用いた証明」の解説
α ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \alpha \in (0,1)} とし、区間 [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} で定義された関数 f ( x ) = cos ( α x ) {\displaystyle f(x)=\cos(\alpha x)} を考える。 これを周期 2 π {\displaystyle 2\pi } で延長した関数のフーリエ級数は区間 [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} において f {\displaystyle f} に各点収束する。 f ( x ) = 2 α sin π α π ( 1 2 α 2 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n α 2 − n 2 cos n x ) {\displaystyle f(x)={\frac {2\alpha \sin \pi \alpha }{\pi }}\left({\frac {1}{2\alpha ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\alpha ^{2}-n^{2}}}\cos nx\right)} x = π {\displaystyle x=\pi } を代入すると cot π α − 1 π α = 2 α π ∑ n = 1 ∞ 1 α 2 − n 2 {\displaystyle \cot \pi \alpha -{\frac {1}{\pi \alpha }}={\frac {2\alpha }{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-n^{2}}}} ここで z ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle z\in (0,1)} をとる。 α ∈ ( 0 , z ) {\displaystyle \alpha \in (0,z)} であるとき、 | 1 α 2 − n 2 | ≤ 1 n 2 − z 2 {\displaystyle \left|{\frac {1}{\alpha ^{2}-n^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{n^{2}-z^{2}}}} であり、また ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − z 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-z^{2}}}} は収束することから、 ワイエルシュトラスのM判定法より上式は α ∈ ( 0 , z ) {\displaystyle \alpha \in (0,z)} において一様収束する。よって上式は区間 [ 0 , z ] {\displaystyle [0,z]} において積分できる。 ln sin π z π z = ∑ n = 1 ∞ ln ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \ln {\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)} これより sin π z = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)} が得られる。
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フーリエ級数を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:59 UTC 版)
「ライプニッツの公式」の記事における「フーリエ級数を用いた証明」の解説
方形波をフーリエ級数で表す証明法もある。方形波 f(x) を f ( x ) = { − 1 − π ≤ x < 0 1 0 ≤ x < π {\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&\quad -\pi \leq x<0\\1&\quad 0\leq x<\pi \end{cases}}} と定義する（これは区分的に滑らかな関数で [−π, π) 上可積分である）と、フーリエ係数 an はこの方形波が奇関数なので 0 であり、bn は以下の式で表す。 b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x = 1 π { ∫ − π 0 ( − 1 ) sin n x d x + ∫ 0 π 1 ⋅ sin n x d x } {\displaystyle {\begin{aligned}b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\,dx\\&={\frac {1}{\pi }}\left\{\int _{-\pi }^{0}(-1)\sin nx\,dx+\int _{0}^{\pi }1\cdot \sin nx\,dx\right\}\\\end{aligned}}} これを計算すると以下のようになる。 b n = { 4 n π n = 2 k + 1 ( k ∈ N ) 0 n = 2 k {\displaystyle b_{n}={\begin{cases}{\dfrac {4}{n\pi }}&\quad n=2k+1\quad (k\in \mathbb {N} )\\0&\quad n=2k\\\end{cases}}} したがって方形波のフーリエ級数は f ( x ) = 4 π ( sin x + 1 3 sin 3 x + 1 5 sin 5 x + ⋯ ) {\displaystyle f(x)={\frac {4}{\pi }}\left(\sin x+{\frac {1}{3}}\sin 3x+{\frac {1}{5}}\sin 5x+\dotsb \right)} となり、f(x) は x = π/2 において連続であるから、両辺に x = π/2 を代入すると 1 = 4 π ( 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ ) {\displaystyle 1={\frac {4}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\dotsb \right)} であるのでライプニッツの公式が得られる。
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