フーリエ解析を用いた解法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/13 14:41 UTC 版)
「バーゼル問題」の記事における「フーリエ解析を用いた解法」の解説
「フーリエ級数#フーリエ級数の例」を参照 放物線をフーリエ級数で表す方法を用いる。 f ( x ) = x 2 4 ( − π ≤ x ≤ π ) {\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}}{4}}\quad (-\pi \leq x\leq \pi )} を考える。この放物線は偶関数であるから余弦関数で展開できる： x 2 4 = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos n x . {\displaystyle {\frac {x^{2}}{4}}={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx.} ここで a 0 = 1 π ∫ − π π x 2 4 d x = π 2 6 {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {x^{2}}{4}}\,dx={\frac {{\pi }^{2}}{6}}} であり、an (n ≥ 1) は 1 π ∫ − π π x 2 4 cos n x d x = ( − 1 ) n n 2 {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {x^{2}}{4}}\cos nx\,dx={\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}} である。ゆえに、f(x) のフーリエ級数は f ( x ) = π 2 12 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n 2 cos n x {\displaystyle f(x)={\frac {\pi ^{2}}{12}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}\cos nx} であり、両辺に x = π を代入すると π 2 4 = π 2 12 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle {\frac {{\pi }^{2}}{4}}={\frac {{\pi }^{2}}{12}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}} となる。ゆえに、バーゼル問題の解 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {{\pi }^{2}}{6}}} が得られる。
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