フーリエ変換
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数学においてフーリエ変換（フーリエへんかん、英: Fourier transform、FT）は、実変数の複素または実数値関数
フーリエ変換の性質
実数直線上で定義される関数 f が絶対可積分であるとは、
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関連図書
- 高橋洋一郎：「実関数とフーリエ解析」、岩波書店、ISBN 4-00-005457-0 (2006年7月7日).
外部リンク
- Fourier Series Applet (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form).
- Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Weisstein, Eric W. "Fourier Transform". mathworld.wolfram.com (英語).
- Fourier Transform Module by John H. Mathews
- The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day at The DSP Dimension
- FFT in Python
- Fourier-transform (mathematics) - ブリタニカ百科事典
- 日本大百科全書(ニッポニカ)『フーリエ変換』 - コトバンク
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フーリエ解析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)
フーリエ解析の基本目的の一つは、関数を付随するフーリエ級数、即ち与えられた基底関数族の（必ずしも有限とは限らない）線型結合に分解することである。区間 [0, 1] 上の関数 f に付随する古典フーリエ級数とは ∑ n = − ∞ ∞ a n e 2 π i n θ ( a n := ∫ 0 1 f ( θ ) e − 2 π i n θ d θ ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }\quad (a_{n}:=\int _{0}^{1}f(\theta )e^{-2\pi in\theta }\,d\theta )} なる形の級数である。 鋸歯状波関数に対するフーリエ級数の最初の数項を足し上げた例を図に示す。鋸歯状波関数の波長を λ とすると、（基本波、つまり n = 1 を除いて）それよりも短い波長 λ/n（n は整数）をもつ正弦波が基底関数である。全ての基底関数が鋸歯状波の折れるところで交わり（結点）を持つが、基本波を除く全ての基底関数はそれ以外にも結点を持つ。鋸歯の周りでの基底関数の部分和の振動はギブズ現象と呼ばれるものである。 古典フーリエ級数論の特徴的な問題の一つに「関数 f のフーリエ級数がもとの関数に収束する（ことが仮にあったとする）ならば、それはどのような意味においての収束であるか」を問う問題がある。これに対して、ヒルベルト空間を用いた方法で答えを与えることができる。関数族 en(θ) := e2πinθ はヒルベルト空間 L2([0, 1]) の正規直交基底を成すから、それ故に任意の自乗可積分関数 f が f ( θ ) = ∑ n a n e n ( θ ) , ( a n := ⟨ f , e n ⟩ ) {\displaystyle f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta ),\quad (a_{n}:=\langle f,e_{n}\rangle )} なる級数の形で表せて、さらにこの級数は L2([0, 1]) の元として収束する（即ち、L2-収束、自乗平均収束）。 この問題を抽象的な観点からも見ることができる。任意のヒルベルト空間は正規直交基底を持ち、ヒルベルト空間の各元はそれら基底に属する元の定数倍の和として一意的に表すことができるが、この展開に現れる各基底元の係数のことをその元の抽象フーリエ係数と呼ぶことがある。このような抽象化は、L2([0,1]) などの空間で別の基底関数系を用いることがより自然であるようなときに、特に有用である。関数を三角関数系に分解することは不適当だが、例えば直交多項式系やウェーブレットおよび高次元において球面調和関数へ展開することが適当であるような状況はたくさんある。 例えば、en を L2[0,1] の任意の正規直交基底関数系とすると、与えられた L2[0,1] の関数は有限線型結合 f ( x ) ≈ f n ( x ) = a 1 e 1 ( x ) + a 2 e 2 ( x ) + ⋯ + a n e n ( x ) {\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)} で近似することができる。右辺の係数 {aj} は、差の大きさ ‖ƒ − ƒn‖2 をできるだけ小さくするように定める。幾何学的には、最適近似は {ej} の線型結合全体の成す部分空間の上への ƒ の直交射影であり、 a j = ∫ 0 1 e j ( x ) ¯ f ( x ) d x {\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,dx} によって計算することができる。これが ‖ƒ − ƒn‖2 を最小化することはベッセルの不等式とパーセヴァルの公式からの帰結である。 種々の物理学的問題においては、関数を物理的に意味を持つ微分作用素（典型的なものはラプラス作用素）の固有関数系に分解することができ、微分作用素のスペクトルに関連して、関数のスペクトル研究の基礎を成している。物理学への具体的な応用として太鼓の形を聴く（英語版）問題が挙げられる。これは「太鼓の皮が引き起こす基本振動モードを与えたとき、太鼓自身の形が推定できるか」というものである。この問題の数学的定式化は、平面上のラプラス作用素のディリクレ固有値に関わるものになる（これはヴァイオリンの弦の基本振動モードを表す整数の直接の対応物である）。 スペクトル論も関数のフーリエ変換のある種の側面を下支えしている。フーリエ解析ではコンパクト集合上定義された関数を（ヴァイオリンの弦や太鼓の皮の振動に対応する）ラプラス変換の離散スペクトルに分解するのに対して、関数のフーリエ変換はユークリド空間の全域で定義された関数をラプラス作用素の連続スペクトルに関する成分に分解する。フーリエ変換があるヒルベルト空間（「時間領域」）から別なヒルベルト空間（「周波数領域」）への等距変換であることを主張するプランシュレルの定理として、フーリエ変換は幾何学的な意味を持つ。このフーリエ変換の等距性は、例えば非可換調和解析に現れる球関数に対するプランシュレルの定理などが示すとおり、抽象的な調和解析では繰り返し登場する主題である。
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