数学的定式化
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「ヒース–ジャロー–モートン・フレームワーク」の記事における「数学的定式化」の解説
Heath, Jarrow and Morton & (1992) によって発展したモデルのクラスはフォワードレートのモデリングが基礎となっているが、期間構造の変化の複雑さをすべて捉えるものではない。 HJMモデルにおいてはまず、瞬間的なフォワードレート f ( t , T ) {\displaystyle \textstyle f(t,T)} , t ≤ T {\displaystyle \textstyle t\leq T} が導入される。これは、時間 t {\displaystyle \textstyle t} から見た、時間 T {\displaystyle \textstyle T} までの連続複利として定義されている。債券価格とフォワードレートの関係は以下のようにして定義される。 P ( t , T ) = e − ∫ t T f ( t , s ) d s {\displaystyle P(t,T)=e^{-\int _{t}^{T}f(t,s)ds}} ここで、 P ( t , T ) {\displaystyle \textstyle P(t,T)} は時点 t {\displaystyle \textstyle t} における満期が T ≥ t {\displaystyle \textstyle T\geq t} のゼロ・クーポン債価格である。無リスクのマネーマーケットアカウントは同様に以下のように定義される。 β ( t ) = e ∫ 0 t f ( u , u ) d u {\displaystyle \beta (t)=e^{\int _{0}^{t}f(u,u)du}} 最後の方程式により、無リスクのショートレート f ( t , t ) ≜ r ( t ) {\displaystyle \textstyle f(t,t)\triangleq r(t)} が定義できる。HJMフレームワークではリスク中立測度 Q {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} } の下での f ( t , s ) {\displaystyle \textstyle f(t,s)} の変動が以下のように定まる。 d f ( t , s ) = μ ( t , s ) d t + Σ ( t , s ) d W t {\displaystyle df(t,s)=\mu (t,s)dt+{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)dW_{t}} ここで W t {\displaystyle \textstyle W_{t}} は d {\displaystyle \textstyle d} 次元のウィーナー過程であり、 μ ( u , s ) {\displaystyle \textstyle \mu (u,s)} , Σ ( u , s ) {\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\Sigma }}(u,s)} は F u {\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}_{u}} 適合過程（英語版）である。今、 f {\displaystyle \textstyle f} の変動に基いて、 P ( t , s ) {\displaystyle \textstyle P(t,s)} の変動と、リスク中立価格付けを満たす為に必要な条件を見つけよう。ここで以下の確率過程を定義する。 Y t ≜ log P ( t , s ) = − ∫ t s f ( t , u ) d u {\displaystyle Y_{t}\triangleq \log P(t,s)=-\int _{t}^{s}f(t,u)du} Y t {\displaystyle \textstyle Y_{t}} の変動はライプニッツの積分法則（英語版）によって得られる。 d Y t = f ( t , t ) d t − ∫ t s d f ( t , u ) d u = r t d t − ∫ t s μ ( t , u ) d t d u + Σ ( t , u ) d W t d u {\displaystyle {\begin{aligned}dY_{t}&=f(t,t)dt-\int _{t}^{s}df(t,u)du\\&=r_{t}dt-\int _{t}^{s}\mu (t,u)dtdu+{\boldsymbol {\Sigma }}(t,u)dW_{t}du\end{aligned}}} μ ( t , s ) ∗ = ∫ t s μ ( t , u ) d u {\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}=\int _{t}^{s}\mu (t,u)du} , Σ ( t , s ) ∗ = ∫ t s Σ ( t , u ) d u {\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*}=\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,u)du} が定義可能であり、 Y t {\displaystyle \textstyle Y_{t}} の変動についての式においてフビニの定理を用いることが出来るのならば、以下が成立する。 d Y t = ( r t − μ ( t , s ) ∗ ) d t − Σ ( t , s ) ∗ d W t {\displaystyle dY_{t}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}\right)dt-{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}} 伊藤の補題より、 P ( t , T ) {\displaystyle \textstyle P(t,T)} の変動は次のようになる。 d P ( t , s ) P ( t , s ) = ( r t − μ ( t , s ) ∗ + 1 2 Σ ( t , s ) ∗ Σ ( t , s ) ∗ T ) d t − Σ ( t , s ) ∗ d W t {\displaystyle {\frac {dP(t,s)}{P(t,s)}}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*T}\right)dt-{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}} しかし、 P ( t , s ) β ( t ) {\displaystyle \textstyle {\frac {P(t,s)}{\beta (t)}}} はリスク中立測度 Q {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} } の下でマルチンゲールでなくてはならない。よって μ ( t , s ) ∗ = 1 2 Σ ( t , s ) ∗ Σ ( t , s ) ∗ T {\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*T}} が成り立たなければならない。これを s {\displaystyle \textstyle s} について微分することで次が得られる。 μ ( t , u ) = Σ ( t , u ) ∫ t u Σ ( t , s ) T d s {\displaystyle \mu (t,u)={\boldsymbol {\Sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{T}ds} この式から最終的に f {\displaystyle \textstyle f} の変動は以下のようにならなくてはならないことが分かる。 d f ( t , u ) = ( Σ ( t , u ) ∫ t u Σ ( t , s ) T d s ) d t + Σ ( t , u ) d W t {\displaystyle df(t,u)=\left({\boldsymbol {\Sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{T}ds\right)dt+{\boldsymbol {\Sigma }}(t,u)dW_{t}} これにより、 Σ {\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\Sigma }}} の選択に基いた債券や利子率のデリバティブの価格付けが可能になる。
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数学的定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/06 15:38 UTC 版)
トムソン問題は、数学者スティーヴン・スメイルによる18個の未解決問題の1つ — "2次元球面上の点の分布" — の特別な場合である。冒頭述べたように単位球面（ r = 1 {\displaystyle r=1} ）の場合だけ考えればよい。 電気量 e i = e j = e {\displaystyle e_{i}=e_{j}=e} （ e {\displaystyle e} は電気素量）の電子ペアがもつ静電エネルギーは、クーロンの法則より U i j ( N ) = k e e i e j r i j {\displaystyle U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}} ここで k e {\displaystyle k_{e}} はクーロン定数、 r i j = | r i − r j | {\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|} は位置ベクトル r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 、 r j {\displaystyle \mathbf {r} _{j}} で表した電子間距離。 e = 1 {\displaystyle e=1} 、 k e = 1 {\displaystyle k_{e}=1} であるとしても一般性は失わない。このとき、 U i j ( N ) = 1 r i j {\displaystyle U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}} N-電子配置のエネルギーの総和は、ペアごとの値を合算して次のように書ける。 U ( N ) = ∑ i < j 1 r i j {\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}} 大局的な U ( N ) {\displaystyle U(N)} の最小化配置は、大体において数値計算で得られる。
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数学的定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/29 02:01 UTC 版)
独立同分布に従う可積分な確率変数の無限列 X1, X2, … が与えられたとき、その平均を μ とおく。標本平均 X ¯ n = 1 n ( X 1 + X 2 + ⋯ + X n ) ( n ≥ 1 ) {\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})\quad (n\geq 1)} のとる値が平均 μ の近傍から外れる確率は、十分大きな n を取れば、いくらでも小さくできる： lim n → ∞ P ( | X ¯ n − μ | > ε ) = 0 ( ∀ ε > 0 ) . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\vert {\bar {X}}_{n}-\mu \vert >\varepsilon )=0\quad (\forall \varepsilon >0).} これを大数の弱法則という。さらに同じ仮定の下で、n → ∞ とするとき、 X ¯ n {\displaystyle {\bar {X}}_{n}} は μ にほとんど確実に（almost surely, 確率 1 で）収束する： P ( lim n → ∞ X ¯ n = μ ) = 1. {\displaystyle P(\lim _{n\to \infty }{\bar {X}}_{n}=\mu )=1.} これを大数の強法則という。 強法則の方が弱法則より強い主張をしているが、その分証明が難しい。
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数学的定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 02:33 UTC 版)
AのB弾力性 Eは、Bの変化率に対するAの変化率の比である。Aの変化量をdA、Bの変化量をdBをすれば E = ( d A / A ) ( d B / B ) = B A ⋅ d A d B {\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {(\mathrm {d} A/A)}{(\mathrm {d} B/B)}}\\&={\frac {B}{A}}\cdot {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} B}}\end{aligned}}} が一般的な定義式である。ただし、需要の価格弾力性など、通常負の値をとるものについては、これの絶対値をとることがある。
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数学的定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/10 15:35 UTC 版)
「クニーズニク・ザモロドチコフ方程式」の記事における「数学的定式化」の解説
詳細は「頂点代数（英語版）(Vertex algebra)」を参照 Tsuchiya & Kanie (1988)で扱われて以来、クニーズニク・ザモロドチコフ方程式は Borcherds (1986) や Frenkel, Lepowsky & Meurman (1988)により、頂点代数（英語版）(vertex algebra)の言葉を使い、数学的に定式化されてきた。このアプローチは、Goddard (1988) により理論物理学者の間に広められ、Kac (1996)により数学者の間に広められた。 固定されたレベルでのアフィンカッツ・ムーディ代数の真空表現 H0 は、頂点代数の中にコード化される。微分 d は、H0 上にエネルギー作用素 L0 として作用し、L0 の非負な整数個の固有空間の直和として書くことができ、ゼロエネルギー空間は真空ベクトル Ω により生成される。L0 の固有ベクトルの固有値は、エネルギーと呼ばれる。L の中のすべての状態 a に対し、頂点作用素 V(a,z) が存在し、 V ( a , 0 ) Ω = a . {\displaystyle V(a,0)\Omega =a.} として、a を真空ベクトル Ω から生成する。エネルギーが 1 である頂点作用素は、アフィン代数 X ( z ) = ∑ X ( n ) z − n − 1 {\displaystyle X(z)=\sum X(n)z^{-n-1}} の生成子に対応する。ここに X は元となる有限次元の単純複素リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元を渡る。 エネルギー 2 の固有ベクトル L−2Ω が存在し、セーガル・菅原構成(Segal–Sugawara construction) T ( z ) = ∑ L n z − n − 2 . {\displaystyle T(z)=\sum L_{n}z^{-n-2}.} により、カッツ・ムーディ代数を持つヴィラソロ代数の生成子 Ln を与える。 a がエネルギー α であれば、対応する頂点作用素は、 V ( a , z ) = ∑ V ( a , n ) z − n − α {\displaystyle V(a,z)=\sum V(a,n)z^{-n-\alpha }} という形となる。 頂点作用素は、 d d z V ( a , z ) = [ L − 1 , V ( a , z ) ] = V ( L − 1 a , z ) [ L 0 , V ( a , z ) ] = ( z − 1 d d z + α ) V ( a , z ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}V(a,z)&=\left[L_{-1},V(a,z)\right]=V\left(L_{-1}a,z\right)\\\left[L_{0},V(a,z)\right]&=\left(z^{-1}{\frac {d}{dz}}+\alpha \right)V(a,z)\end{aligned}}} と、局所性、結合性関係式 V ( a , z ) V ( b , w ) = V ( b , w ) V ( a , z ) = V ( V ( a , z − w ) b , w ) . {\displaystyle V(a,z)V(b,w)=V(b,w)V(a,z)=V(V(a,z-w)b,w).} を満す。 二つのこれらの関係式は、解析接続として理解することができる。三つの表現を満す有限なエネルギーのベクトルとの内積は、領域 |z| < |w|, |z|> |w|, |z – w| < |w| の中で、z±1, w±1, (z − w)−1 の同一の多項式を定義する。カッツ・ムーディ代数とヴィラソロ代数のすべての構造関係式より、セーガル・菅原構成であるこれらの関係式を再現することができる。 同じレベルでの他のすべての整数表現 Hi は、頂点代数の加群となる。この意味は、各々の a に対して、頂点作用素 Vi(a, z) が Hi 上に存在し、 V i ( a , z ) V i ( b , w ) = V i ( b , w ) V i ( a , z ) = V i ( V ( a , z − w ) b , w ) {\displaystyle V_{i}(a,z)V_{i}(b,w)=V_{i}(b,w)V_{i}(a,z)=V_{i}(V(a,z-w)b,w)} となることである。 与えられたレベルの中で最も一般的な頂点代数は、表現 Hi と Hj の間の相互作用素（英語版）(intertwining operator) Φ(v, z) である。ここに v は Hk の中にある。これらの作用素は、 Φ ( v , z ) = ∑ Φ ( v , n ) z − n − δ {\displaystyle \Phi (v,z)=\sum \Phi (v,n)z^{-n-\delta }} とも書くこともできるが、δ は今のところ有理数であることも可能である。繰り返すが、これらの相互作用素は、 V j ( a , z ) Φ ( v , w ) = Φ ( v , w ) V i ( a , w ) = Φ ( V k ( a , z − w ) v , w ) {\displaystyle V_{j}(a,z)\Phi (v,w)=\Phi (v,w)V_{i}(a,w)=\Phi \left(V_{k}(a,z-w)v,w\right)} という性質と上記同様の L0 と L−1 との関係により特徴付けられる。 v が Hk 上の L0 の中の最低エネルギー部分空間にあるとき、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の既約表現である作用素 Φ(v, w) をチャージ k のプライマリ場（英語版）(primary field)と呼ぶ。 H0 に始点と終点を持つ一連の n 個のプライマリ場が与えられると、それらの相関函数、あるいは、n-点函数は、 ⟨ Φ ( v 1 , z 1 ) Φ ( v 2 , z 2 ) ⋯ Φ ( v n , z n ) ⟩ = ( Φ ( v 1 , z 1 ) Φ ( v 2 , z 2 ) ⋯ Φ ( v n , z n ) Ω , Ω ) {\displaystyle \left\langle \Phi (v_{1},z_{1})\Phi (v_{2},z_{2})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =\left(\Phi \left(v_{1},z_{1}\right)\Phi \left(v_{2},z_{2}\right)\cdots \Phi \left(v_{n},z_{n}\right)\Omega ,\Omega \right)} により定義される。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の対応する既約表現によるラベル付けが明確な場合には、物理の文献において、vi が省略されたり、プライマリ場が Φi(zi) と書かれたりすることもある。
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