数学的定義
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数学的には、拡張2元ゴレイ符号は24ビット空間 V=F224 の12次部分空間 W からなり、W の任意の2つの元は少なくとも8箇所の座標位置が異なる。同様に W の任意のゼロでない元は、少なくとも8箇所の座標がゼロでない。 W 上に分布するゼロでない座標の集合 w が符号語の集合である。拡張2元ゴレイ符号では、全ての符号語のハミング重みは、0, 8, 12, 16, 24 のいずれかである。 座標の再ラベル付けまで、W は一意である。 完全2元ゴレイ符号は完全符号である。すなわち、符号を中心とする半径3の球がベクトル空間のパーティションを形成する。 完全2元ゴレイ符号の自己同型群は、マシュー群 M 23 {\displaystyle M_{23}} である。拡張2元ゴレイ符号の自己同型群はマシュー群 M 24 {\displaystyle M_{24}} である。他のマシュー群は、W の1つ以上の元の不変部分群として得られる。 ハミング重み 8 のゴレイ符号の符号語は、シュタイナー系 S(5,8,24) の元である。
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数学的定義
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/14 09:19 UTC 版)
以下の記述はMusiela and Rutkowski & (2004)に基づく。 まずニュメレールとしての銀行口座、もしくはマネーマーケットアカウントを以下のように定義する。 B ( T ) = exp ( ∫ 0 T r ( u ) d u ) {\displaystyle B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)} 更に時点0から満期 T までの割引ファクターを以下のように定義する。 D ( T ) = 1 / B ( T ) = exp ( − ∫ 0 T r ( u ) d u ) {\displaystyle D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)} もし Q ∗ {\displaystyle Q_{*}} がリスク中立測度ならば、フォワード測度 Q T {\displaystyle Q_{T}} はラドン–ニコディム微分として以下のように与えられる。 d Q T d Q ∗ = 1 B ( T ) E Q ∗ [ 1 / B ( T ) ] = D ( T ) E Q ∗ [ D ( T ) ] . {\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.} 上の式は利子率が非確率的ならばフォワード測度とリスク中立測度は一致することを意味している。また、ニュメレールを銀行口座もしくはマネーマーケットアカウント B(t) から満期 T の債券 P(t,T) に変えた際のニュメレール変換公式の一つでもある。実際、時点 t における満期 T のゼロクーポン債価格が P ( t , T ) = E Q ∗ [ B ( t ) B ( T ) | F ( t ) ] = E Q ∗ [ D ( T ) D ( t ) | F ( t ) ] {\displaystyle P(t,T)=E_{Q_{*}}\left[{\frac {B(t)}{B(T)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]=E_{Q_{*}}\left[{\frac {D(T)}{D(t)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]} と書けるならば（ F ( t ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(t)} は時点 t における市場の情報を表すフィルトレーションである）、 d Q T d Q ∗ = B ( 0 ) P ( T , T ) B ( T ) P ( 0 , T ) {\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}}} と書ける。この式より、T–フォワード測度はニュメレール（英語版）としての満期 T のゼロクーポン債と関連していることが明確になる。 より詳細な議論についてはBrigo and Mercurio & (2006)を参照せよ。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/20 11:15 UTC 版)
外表面が半軸を a, b, c とする楕円面 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1} で与えられるなら、内表面は 0 ≤ m ≤ 1 によって x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = m 2 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=m^{2}} と得られる。m → 1 の極限は薄いホメオイドとなる。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/25 07:35 UTC 版)
計量テンソル gij を持つリーマン多様体が与えられると、リッチテンソル Rij を計算することができる。リッチテンソルは、一種のリーマン曲率テンソルの「トレース」の断面曲率の平均値を集めたものである。計量テンソルと関連付けられたリッチテンソルを、通常は「時間」と呼ばれる（必ずしも物理的な時間と関係ないこともありうる）変数とすると、リッチフローは、幾何学的発展方程式 (geometric evolution equation) ∂ t g i j = − 2 R i j {\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}} として定義することができる。正規化されたリッチフローは、コンパクト多様体に対して意味を持ち、等式 ∂ t g i j = − 2 R i j + 2 n R a v g g i j {\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}+{\frac {2}{n}}R_{\mathrm {avg} }g_{ij}} で与えられる。ここに、 R a v g {\displaystyle R_{\mathrm {avg} }} は（トレースを取ることで得られるスカラーテンソルの平均値であり、 n {\displaystyle n} は多様体の次元である。この正規化された等式は、計量としての体積形式を保存する。 変数 t を 0 でない実数へ取り替えることができるため、−2 の掛け算の要素は、あまり重要性がない。しかし、マイナス符号はリッチフローが充分小さな正の時間に対して定義するできることを保証する。符号を変えると、リッチフローは通常、小さな負の時間に対して定義することができる。（このことは、熱方程式が時間とともに前へ進むことができるが、後ろへ進むことはできないことと、同じ状況である。） 非公式には、リッチフローは多様体の負に曲がった領域では膨張する傾向があり、逆に、正の曲がった領域では収縮する傾向がある。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/22 09:04 UTC 版)
ウィグナー分布の定義にはいくつかの異なる流儀がある。ウィーナー＝ヒンチンの定理を参照されたい。以下に示す定義は時間周波数分析特有のものである。時系列信号 x [ t ] {\displaystyle x[t]} に対する自己相関関数は次のように定義される。 C x ( t 1 , t 2 ) = ⟨ ( x [ t 1 ] − μ [ t 1 ] ) ( x [ t 2 ] − μ [ t 2 ] ) ∗ ⟩ , {\displaystyle C_{x}(t_{1},t_{2})=\left\langle \left(x[t_{1}]-\mu [t_{1}]\right)\left(x[t_{2}]-\mu [t_{2}]\right)^{*}\right\rangle ,} ここで ⟨ ⟩ {\displaystyle \langle \,\rangle } は全ての可能なプロセスにわたっての平均を意味し、 μ ( t ) {\displaystyle \mu (t)} は時間に依存する、もしくは依存しない平均値を意味する。ウィグナー分布 W x ( t , f ) {\displaystyle W_{x}(t,f)} はまずこの自己相関関数 C x {\displaystyle C_{x}} を、平均時間 t = ( t 1 + t 2 ) / 2 {\displaystyle t=(t_{1}+t_{2})/2} と時間差 τ = t 1 − t 2 {\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}} の関数に直し、時間差 τ {\displaystyle \tau } についてフーリエ変換を施すことによって得られる。 W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ C x ( t + τ 2 , t − τ 2 ) e − 2 π i τ f d τ . {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }C_{x}\left(t+{\frac {\tau }{2}},t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .} よって、 single (mean-zero) time series に対しては、ウィグナー分布は次のように単純に与えられる。 W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t + τ 2 ) x ( t − τ 2 ) ∗ e − 2 π i τ f d τ . {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .} ウィグナー分布を用いる動機は、定常過程についてはそれが全ての時間 t {\displaystyle t} に対してスペクトル密度関数に帰着し、非定常過程については自己相関関数と完全に一致することである。そのため、ウィグナー分布により、スペクトル密度が時間の経過につれてどのように変化するかを（おおよそ）知ることができる。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/27 15:50 UTC 版)
Xn (n = 1, 2, ...) を独立かつ同分布な Rd 値確率変数族とする。この時、 S n = X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}} を（d 次元）ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。 特に、Xn が Zd 値であり、かつ、 P ( X n = e j ) = P ( X n = − e j ) = 1 2 d {\displaystyle P(X_{n}=\mathbf {e} _{j})=P(X_{n}=-\mathbf {e} _{j})={\frac {1}{2d}}} （ e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} は、第 j 成分が 1 の単位ベクトル）である時、Sn を（d 次元）単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。 直接的一般化として、結晶格子（結晶構造の抽象化）上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と砂田により証明されている。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/16 10:07 UTC 版)
数学的な定義としてよく知られたものはいくつかの方法があるが、いずれも適当な枠組みで互いに他を導出することができる等価なものである。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/05/24 05:58 UTC 版)
と は、 有効集団サイズがである集団から得た個体の標本において、 中立進化モデル仮定下での2本のDNA配列間のSNPsの期待値の推定値である。 第一の推定値は、標本中の番目の配列をペアワイズで 比較した時に見られるSNPsの平均であり、 第二の推定値は、の期待値から導かれ、 田嶋はと定義したが、Hartl & Clarkは同じパラメータを異なる記号と定義して使っている。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/16 04:43 UTC 版)
線形独立成分分析はノイズのない場合とノイズのある場合に分けられ、ノイズのない ICA はノイズのある ICA の特別な場合である。非線形 ICA はそれらとは別と考えられる。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2013/05/05 06:11 UTC 版)
点Xが経路AB上（3次元自由空間）を運動しており、原点Oから点Xまでの位置ベクトルを r とする。この時、任意の点Cにおいて、経路AB上を運動する点Xの速度ベクトルを引いていくと、その速度ベクトルが描く新たな曲線abがホドグラフである。 例；点Xが速度 v で半径 r の等速円運動をする場合、そのホドグラフは、半径 v の円となる。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/12 16:18 UTC 版)
ラインウィーバー＝バーク式はvを開始反応速度、Kmをミカエリス・メンテン定数、Vmaxを最大反応速度、[S] を基質濃度とすると、 1 v = K m V m a x [ S ] + 1 V max {\displaystyle \ {\frac {1}{v}}={\frac {K_{m}}{V_{max}[S]}}+{1 \over V_{\max }}} である。 不競合阻害剤に対するラインウィーバー＝バークプロットは元々の酵素-基質プロットと平行だが、阻害項 [ I ] K i {\displaystyle \ {\frac {[I]}{K_{i}}}} の存在によってy切片が大きくなった直線となる。 1 v = K m V m a x [ S ] + 1 + [ I ] K i V m a x {\displaystyle \ {\frac {1}{v}}={\frac {K_{m}}{V_{max}[S]}}+{\frac {1+{\frac {[I]}{K_{i}}}}{V_{max}}}} 上式において、[I] は阻害剤の濃度、Kiは阻害剤を特徴付ける阻害定数である。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/22 14:52 UTC 版)
系が辿る実際の時間発展の経路は、作用の停留点（通常は最小点）に対応する。作用の停留点は作用積分に対する変分により与えられる。 作用には異なるいくつかの定義があり、それらは物理学で一般的に使われている。 よく使われる作用の定義は、ラグランジアンの時間積分として与えられる。しかし、場の作用に対しては、ラグランジアンではなくラグランジアン密度に対する積分として定義され、空間と時間の両方の積分として定義される。いくつかの特別な場合において、作用は時間をパラメターとした系の辿る経路に沿った積分に置き換えられる。例えば粒子系の時間発展に関して、作用積分はそれぞれの粒子が辿る経路に束縛されるため、作用積分は時間をパラメターとする粒子の軌跡の積分となる。 典型的な作用は、初期時刻 ti と終端時刻 tf の間で系が辿る経路に沿った時間積分として表現されるものである。 S = ∫ t i t f L d t {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}L\,\mathrm {d} t} 右辺の被積分関数 L はラグランジアンと呼ばれる。作用積分が well-defined であるためには、ラグランジアンに与えられる軌跡は時間と空間の両方について有界である必要がある。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/12 07:13 UTC 版)
「LRV (対数減少値)」の記事における「数学的定義」の解説
c B c cが定義されたプロセス後、それぞれの前後の所与の汚染物質濃度数値とするが、どちらも同じ単位を使用する場合、これらの濃度がどの単位で与えられるかは無関係である。 次に、 Rログの削減が達成される。すなわち R = log10 cb − log10 ca = − log10 (ca / cb). 表示の目的で、 Rの値は、通常は整数に、希望する精度に切り捨てられる。 例 汚染物質の濃度を、処理前は580 ppm、処理後は0.725 ppmとする。 その後 R = − log10 (0.725/580) = − log10 0.00125 = 2.903... Rは2に切り捨てられるため、2対数の削減が達成される。 逆に、 R -logの削減は、10 R 1の削減が達成されたことを意味する。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 21:41 UTC 版)
データベース理論では、OLAPキューブはRDBMSの射影を抽象化したものである。次数Nを前提として、X、Y、Zをキーとし、Wを残差の属性とする射影を考えた場合、これを関数として述べると、 f : (X,Y,Z) → W, 属性X、Y、およびZはキューブの軸に相当し、W値はキューブの各セルにデータを取り込むデータ要素に相当する。 2次元出力デバイスが3次元を簡単に述べることができない限り、データキューブの「スライス」の射影を使用することがより現実的である（SQLのものと概念的には似ているが同じ意味ではなく、古典的なベクトル分析の次元削減の意味で射影と呼ぶ）、 g : (X,Y) → W これは主キーが隠される可能性があるものの、意味的な重要性はあり、おそらくユーザの関心がある特定のZの値の3項関数表現のスライスと考えられる。 OLAP表示の背後にある動機を辿ると、1980年代のDBMSのクロスタブレポートパラダイムと、1904年の初期の分割表に行き当たる。結果は、Xの値が行$1に入力されるスプレッドシートスタイルの表示; Yの値は$A列に入力; g : ( X, Y ) → W の値はXラベルの付いた列とYラベルの付いた行の交点、「南東」、つまり$B$2の個々のセルに$B$2自体を含めて入力する。
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数学的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/30 03:12 UTC 版)
場の理論では、スキルミオンは非自明な対象多様体トポロジーの非線形シグマモデルに対する、ホモトピー的に非自明な古典解である。したがって、スキルミオンは位相的ソリトンである。例として、中間子のカイラル模型（英語版）が挙げられる。この場合、対象多様体は次の構造群の等質空間である。 ( S U ( N ) L × S U ( N ) R S U ( N ) diag ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {SU} (N)_{\mathrm {L} }\times \mathrm {SU} (N)_{\mathrm {R} }}{\mathrm {SU} (N)_{\text{diag}}}}\right)} ここで、 SU(N)L および SU(N)R は SU(N) 行列のそれぞれ左部分と右部分であり、SU(N)diag は対角部分群（英語版）である。 時空がトポロジー S3×R を持つとき、古典配置は整数回転数に分類される。これは、三次のホモトピー群 π 3 ( S U ( N ) L × S U ( N ) R S U ( N ) diag ≅ S U ( N ) ) {\displaystyle \pi _{3}\left({\frac {\mathrm {SU} (N)_{\mathrm {L} }\times \mathrm {SU} (N)_{\mathrm {R} }}{\mathrm {SU} (N)_{\text{diag}}}}\cong \mathrm {SU} (N)\right)} が整数の環と等価なためである。ここで、等号は位相同型を意味している。 カイラルラグランジアンに位相幾何学的項が追加されることがあり、このときその積分はホモトピー類にのみ依存する。この結果として量子化されたモデルに超選択セクターが生じる。スキルミオンはサイン・ゴルドン方程式（英語版）のソリトンとして近似することができる。ベーテ仮設（英語版）その他により量子化すると、質量を持ち、シリング模型（英語版）に従って相互作用するフェルミオンとなる。
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