拡張2
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/29 05:26 UTC 版)
右辺を1の代わりに4としたもの x2 − ny2 = ±4 もペル方程式とよばれることがあるが、これは二次体の単数と深く関連している。K を二次体とし、D をその判別式とすると、 x2 − Dy2 = ±4 の整数解に対して (x + y√D)/2 全体は K の単数全体と一致する。特に最小解を (x1, y1) とおくと、 α = ( x 1 + y 1 D ) / 2 , β = ( x 1 − y 1 D ) / 2 {\displaystyle \alpha =(x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}})/2,\beta =(x_{1}-y_{1}{\sqrt {D}})/2} は K の基本単数となり、この方程式の解について、通常のペル方程式の場合と類似した公式 x k + y k D 2 = ( x 1 + y 1 D 2 ) k {\displaystyle {\frac {x_{k}+y_{k}{\sqrt {D}}}{2}}=\left({\frac {x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}}}{2}}\right)^{k}\,} が得られる。
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