断面曲率

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断面曲率

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/08 08:03 UTC 版)

リーマン幾何学において、断面曲率(英: sectional curvature)は、リーマン多様体の曲率を記述する方法のひとつである。断面曲率 K(σ_p) は p の接空間内の 2次元平面 σ_p に依存する。断面曲率は曲面のガウス曲率であり、σ_p 方向の点 p から始まる測地線より得られる p での接平面 σ_p を持つ（言い換えると、この平面は、p での指数写像の下の像である。断面曲率は、多様体上の 2次元グラスマン多様体のファイバーバンドル上の滑らかな実数値函数である。

断面曲率は、リーマン曲率テンソルを完全に決定する。

定義

リーマン多様体のある点上の 2つの線型独立な接ベクトル u と v に対し、断面曲率を

$K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}$