双曲3次元多様体とは? わかりやすく解説

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双曲3次元多様体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/05 15:16 UTC 版)

数学において双曲3次元多様体(そうきょく3じげんたようたい、: Hyperbolic 3-manifold)とは、定数断面曲率 -1 を持つ完備リーマン計量を備える3次元多様体英語版のことを言う。これは言い換えると、自由かつ固有不連続英語版に作用する双曲等長の部分群による3次元双曲空間英語版の商である。クラインモデル英語版を参照されたい。

この多様体の厚薄分解は、閉測地線の管状近傍からなる薄い部分と、ユークリッド曲面と閉半直線の積であるエンドからなる。この多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、その厚い部分がコンパクトであることである。この場合、エンドは閉半直線を横切るトーラスの形をしており、尖点(cusp)と呼ばれる。

構成

1912年に初めて発見された、尖った双曲3次元多様体はギーゼキング多様体である。それはイデアル双曲四面体の面を貼り合わせることで構成される。

3次元球面における結び目と絡み目の補空間は、頻繁に尖った(frequently cusped)双曲多様体である。この例には、8の字結び目ボロミアン環ホワイトヘッド絡み目英語版の補空間が含まれる。より一般に幾何化によると、サテライト結び目英語版でもトーラス結び目でもない結び目は、双曲結び目である。

双曲デーン手術英語版に関するサーストンの定理では、充填スロープの有限の集まりが除かれる場合、双曲絡み目についての残ったデーン充填は双曲3次元多様体であることが示されている。ザイフェルト=ウェーバー空間英語版は、十二面体の向かい合う面を貼り合わせることで得られる、コンパクトな双曲3次元多様体である。

任意の閉じた向き付け可能な双曲3次元多様体上には、双曲体積を定義することができる。ウィークス多様体は、任意の向き付けられた閉双曲3次元多様体の中で最小の体積を持つ多様体である。

サーストンは、円上の曲面束英語版が双曲であるための必要十分条件を与えた。すなわち、その束のモノドロミー擬アノソフ英語版であることである。これはハーケン多様体英語版に対する彼の有名な双曲化定理英語版の一部である。

ペレルマンによって証明されたサーストンの幾何化予想によれば、無限の基本群を持つ任意の閉、既約英語版かつアトロイダル英語版な3次元多様体は、双曲多様体である。境界を持つ3次元多様体に対しても、同様の主張が成り立つ。

関連項目

参考文献

  • W. Thurston, 3-dimensional geometry and topology, Princeton University Press. 1997.

双曲3次元多様体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/28 14:15 UTC 版)

低次元トポロジー」の記事における「双曲3次元多様体」の解説

詳細は「双曲3次元多様体」を参照 双曲3次元多様体は、完備な定断面曲率 -1 のリーマン計量を持つ3次元多様体英語版)である。言い換えると、双曲3次元多様体は、3次元双曲空間英語版)を、それに自由かつ固有不連続に(英語版作用する双曲的等距離写像の成す適当な部分群割った商である。クライン模型英語版)の項を参照。 その thick-thin 分解は、thin 成分として、閉測地線からなる管状近傍およびまたはユークリッド曲面と閉半直線の積となる端点をもつ。多様体有限体積となるための必要十分条件は、thick 成分コンパクトになることである。この場合終点トーラス閉じた半直線との交差の形をしていて、尖点呼ばれる結び目補空間は最もよく研究されている尖点を持つ多様体である。

※この「双曲3次元多様体」の解説は、「低次元トポロジー」の解説の一部です。
「双曲3次元多様体」を含む「低次元トポロジー」の記事については、「低次元トポロジー」の概要を参照ください。

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