双曲モデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/22 16:02 UTC 版)
ポワンカレの上半平面モデルと呼ばれる双曲幾何のユークリッド空間内での実現がある。このモデルでは、計量が d ( z z ¯ ) | ℑ z | 2 {\displaystyle {\frac {d(z{\bar {z}})}{|\Im z|^{2}}}} D = { z ∈ C ∣ z z ¯ < 1 } {\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} \mid z{\bar {z}}<1\}} H ∋ z ↦ z − i z + i ∈ D {\displaystyle {\mathfrak {H}}\ni z\mapsto {\frac {z-i}{z+i}}\in D} D ∋ w ↦ 1 + w 1 − w i ∈ H {\displaystyle D\ni w\mapsto {\frac {1+w}{1-w}}i\in {\mathfrak {H}}} d ( z z ¯ ) ( 1 − | z | ) 2 {\displaystyle {\frac {d(z{\bar {z}})}{(1-|z|)^{2}}}} をもつ実現と互いにうつりあう。これは二つのモデルがリーマン面として解析的同型であることを意味している。これらの閉包もやはり解析同相となるので、閉上半平面はコンパクトリーマン面になる。
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