双曲型変換とは? わかりやすく解説

双曲型変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)

メビウス変換」の記事における「双曲型変換」の解説

メビウス変換双曲型 (hyperbolic) であるとは、それがトレース実数である行列 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} で ( tr H ) 2 > 4 {\displaystyle ({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}})^{2}>4} なる条件を満たすものによって表現されるときにいう。メビウス変換双曲型となるのは、λ が正の実数となるときであり、かそのときに限る。

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双曲型変換

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メビウス変換」の記事における「双曲型変換」の解説

α が 0(または 2π の整数倍)ならば、その変換双曲型であるという。双曲型変換では、各点不動点一方から他方円軌道沿って動く。 任意の双曲型メビウス変換生成される径数部分群をとれば、この部分群の各変換同一の二点を不動にするような、連続変換得られる不動点以外の点は一方不動点から出て他方不動点へ向かう円弧の族に沿って流れる。一般に二つ不動点リーマン球面上の相異なる任意の二点にとりうる。 これにも重要な物理的解釈がある。観測者天球上の北極向かって加速度一定加速する場合考えると、夜空様子は 0, ∞ を共通の二つ不動点とする双曲型変換全体の成す一径数部分群によって記述される仕方と全く同じよう変化する。ここで実数 ρ は観測者加速度大きさ対応する夜空の星黄経沿って南極から北極向けて動くように見える(黄経球面から平面への立体射影写せ円弧として見える)。 以下は双曲型メビウス変換リーマン球面上へ与え効果(を平面立体射影したもの)を図示したのである。 この図は、円弧流線二つ不動点の間で一定の角を内在するから、不動点に負の電荷置いたときの電気力線様子似ている

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