双曲平面における解析幾何学的構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 07:55 UTC 版)
「ポワンカレの円板モデル」の記事における「双曲平面における解析幾何学的構成」の解説
解析幾何学における基本的な構成は、与えられた二点を通る直線を求めることである。ポワンカレ円板模型において、平面直線は x 2 + y 2 + a x + b y + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0} なる形の円弧の一部によって与えられる。この方程式は単位円に直交する円弧若しくは直径を表す式の一般形である。円板内の直径上にない二点 u, v が与えられたとき、この二点を通るような上記の形で表される円が計算できて、 x 2 + y 2 + u 2 ( v 1 2 + v 2 2 ) − v 2 ( u 1 2 + u 2 2 ) + u 2 − v 2 u 1 v 2 − u 2 v 1 x + v 1 ( u 1 2 + u 2 2 ) − u 1 ( v 1 2 + v 2 2 ) + v 1 − u 1 u 1 v 2 − u 2 v 1 y + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})+u_{2}-v_{2}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})+v_{1}-u_{1}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0} を得る。二点 u, v が円板の境界上の点で、かつ直径の両端点でないならば、今の式は x 2 + y 2 + 2 ( u 2 − v 2 ) u 1 v 2 − u 2 v 1 x − 2 ( u 1 − v 1 ) u 1 v 2 − u 2 v 1 y + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x-{\frac {2(u_{1}-v_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0} と簡略化することができる。
※この「双曲平面における解析幾何学的構成」の解説は、「ポワンカレの円板モデル」の解説の一部です。
「双曲平面における解析幾何学的構成」を含む「ポワンカレの円板モデル」の記事については、「ポワンカレの円板モデル」の概要を参照ください。
- 双曲平面における解析幾何学的構成のページへのリンク
