双曲幾何学との関係とは? わかりやすく解説

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双曲幾何学との関係

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/26 04:58 UTC 版)

モジュラー群」の記事における「双曲幾何学との関係」の解説

「PSL2(R)」も参照 モジュラー群は、双曲平面等長(isometries)群の部分群をなすので、重要である。双曲平面幾何学の上半平モデル H考えると、H のすべての向きを保つ(orientation-preserving)等長群は、a, b, c, d を普通の実数代わりに整数とし、adbc = 1 とすると、 z ↦ a z + b c z + d {\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}} 形のメビウス変換のすべてから構成されるまた、これとは別に次の式に従う H 上の PSL(2, R) 群の作用でもある。 ( a b c d ) ⋅ z = a z + b c z + d   . {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z\,=\,{\frac {az+b}{cz+d}}\ .} この(左-)作用は、忠実であり、PSL(2, Z) は PSL(2, R) の部分群であるので、モジュラー群は H の向きを保つ等長群の部分群である。

※この「双曲幾何学との関係」の解説は、「モジュラー群」の解説の一部です。
「双曲幾何学との関係」を含む「モジュラー群」の記事については、「モジュラー群」の概要を参照ください。

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