閉測地線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/03/19 09:14 UTC 版)
数学の微分幾何学および力学系の分野において、あるリーマン多様体上の閉測地線（へいそくちせん、英: closed geodesic）とは、その多様体上の測地流の閉軌道の射影のことを言う。
定義
リーマン多様体 (M,g) において閉測地線は、計量 g についての測地線であり、周期的であるような曲線 
である。
閉測地線は、変分原理によって特徴付けられる。
を M 上の滑らかな 1-周期曲線の空間とするとき、周期 1 の閉測地線は、次式で定義されるエネルギー函数 
の臨界点である。
が周期 p の閉測地線であるなら、再びパラメータ化された曲線 
は周期 1 の閉測地線であり、したがって E の臨界点である。 が E の臨界点であるなら、各 
に対して 
で定義される曲線 
も E の臨界点である。したがって、M 上のすべての閉測地線はエネルギー E の臨界点からなる無限列を生成する。
例
通常の円形リーマン計量を伴う単位球面 
上のすべての大圏は、閉測地線の一例である。すべての測地線が閉測地線であるような多様体は、数学関連の文献において綿密に調べられてきた。基本群がねじれを持たないようなコンパクト双曲曲面上で、閉測地線は、その曲面のフックス群の元の非自明な共役類と一対一対応を持つ。
関連項目
参考文献
- Besse, A.: "Manifolds all of whose geodesics are closed", Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978.
- Klingenberg, W.: "Lectures on closed geodesics", Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 230. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. x+227 pp. ISBN 3-540-08393-6
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