厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 13:27 UTC 版)
O 1 {\displaystyle O_{1}} , O 2 {\displaystyle O_{2}} を2つのオラクル、 b {\displaystyle b} をビットとする。 暗号に対する攻撃者 A {\displaystyle A} を用いて次の実験 (Experiment, ゲーム (game) ともいう) をする。 E x p Π − I N D − b ( O 1 , O 2 ) ( A , k ) {\displaystyle {\mathsf {Exp}}_{\Pi -{\mathsf {IND}}-b}^{(O_{1},O_{2})}(A,k)} ( p k , s k ) ← G ( 1 k ) {\displaystyle {\mathsf {(pk,sk)}}\gets G(1^{k})} ( m 0 , m 1 , S t ) ← A O 1 ( p k ) {\displaystyle (m_{0},m_{1},{\mathsf {St}})\gets A^{O_{1}}({\mathsf {pk}})} C ← E p k ( m b ) {\displaystyle C\gets E_{\mathsf {pk}}(m_{b})} b ′ ← A O 2 ( p k , C , S t ) {\displaystyle b'\gets A^{O_{2}}({\mathsf {pk}},C,{\mathsf {St}})} Return b ′ {\displaystyle b'} . 攻撃者 A {\displaystyle A} のアドバンテージ(advantage)を : A d v Π − I N D ( O 1 , O 2 ) ( A , k ) = | P r ( E x p Π − I N D − 0 ( O 1 , O 2 ) ( A , k ) = 1 ) − P r ( E x p Π − I N D − 1 ( O 1 , O 2 ) ( A , k ) = 1 ) | {\displaystyle {\mathsf {Adv}}_{\Pi -{\mathsf {IND}}}^{(O_{1},O_{2})}(A,k)=|{\mathsf {Pr}}({\mathsf {Exp}}{}_{\Pi -{\mathsf {IND}}-0}^{(O_{1},O_{2})}(A,k)=1)-{\mathsf {Pr}}({\mathsf {Exp}}{}_{\Pi -{\mathsf {IND}}-1}^{(O_{1},O_{2})}(A,k)=1)|} により定義する。 定義 任意の平均多項式時間確率アルゴリズム A {\displaystyle A} (攻撃者と呼ぶ) に対し、 A d v Π ( O 1 , O 2 ) ( A , k ) {\displaystyle {\mathsf {Adv}}_{\Pi }^{(O_{1},O_{2})}(A,k)} が k に関して無視できるとき、暗号方式 Π {\displaystyle \Pi } は ( O 1 , O 2 ) {\displaystyle (O_{1},O_{2})} -識別不可能 (indistinguishable) であるという。 （注：この「 ( O 1 , O 2 ) {\displaystyle (O_{1},O_{2})} -識別不可能」という言葉はあまり一般的ではない） 特に、 O 1 = ⊥ {\displaystyle O_{1}=\bot } 、 O 2 = ⊥ {\displaystyle O_{2}=\bot } のとき、公開鍵暗号方式 Π {\displaystyle \Pi } はKey Only Attackに対し、識別不可能であるという。 O 1 = O d e c ( s k , ∅ , ⋅ ) {\displaystyle O_{1}=O_{\mathsf {dec}}({\mathsf {sk}},\emptyset ,\cdot )} 、 O 2 = ⊥ {\displaystyle O_{2}=\bot } であるとき、公開鍵暗号方式 Π {\displaystyle \Pi } は選択暗号文攻撃 (Chosen Chiphertext Attack,(略してCCA1)) に対して識別不可能であるという。 O 1 = O d e c ( s k , ∅ , ⋅ ) {\displaystyle O_{1}=O_{\mathsf {dec}}({\mathsf {sk}},\emptyset ,\cdot )} 、 O 2 = O d e c ( s k , { m 0 , m 1 } , ⋅ ) {\displaystyle O_{2}=O_{\mathsf {dec}}({\mathsf {sk}},\{m_{0},m_{1}\},\cdot )} であるとき、公開鍵暗号方式 Π {\displaystyle \Pi } は適応的選択暗号文攻撃（Adaptive Chosen Chiphertext Attack,（略してCCA2））に対して識別不可能であるという。 ただしここで O d e c {\displaystyle O_{\mathsf {dec}}} は次の節で述べる復号オラクルである。 公開鍵暗号方式の場合暗号化用の鍵が公開されているので、攻撃者は（オラクルの助けを借りずとも）任意の平文を暗号化する事ができる。このため、Key Only Attackの事を選択平文攻撃（Chosen Plaintest Attack, CPAと略す）ともいう。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2013/10/27 01:28 UTC 版)
「二次曲面 (射影幾何学)」の記事における「厳密な定義」の解説
より正確に、V を体 K に係数を持つ -次元ベクトル空間とし、F を V 上の二次形式、P を V に対応する n-次元射影空間 が成り立つので、先の条件によって P 内の二次曲面が定義されるという主張は正当である。 P として実射影平面や複素射影平面を取るときの射影二次超曲面は、特に（射影）二次曲線や（射影）円錐曲線と呼ばれる。また P が三次元の実射影空間や複素射影空間であるときを特に（射影）二次曲面と呼ぶ場合もあるが、射影二次超曲面全般を指す意味で射影二次曲面と呼ぶことも多い。 一般に、K が実数体であれば、射影二次超曲面は n-次元射影空間 P の -次元部分多様体になる。例外は、ある特別な性質を持つ二次形式に対応する退化二次曲面である。例えば、F が（任意のベクトル v を零化する）零形式 (trivial form, null form) のときは対応する射影二次超曲面は P 全体になり、また F が定符号二次形式（つまり至る所正値もしくは至る所負値）ならば対応する射影二次超曲面は空になり、あるいは F が二つの非自明な一次形式の積に分解されるときには対応する射影二次超曲面は二つの超平面の合併になる、といった具合である。文献によっては、「二次曲面」の中にこれら特別の場合の一部または全てを含めないこともある。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/20 07:36 UTC 版)
N を "+" で表される加法的演算のもとで閉じた集合とする。N における加法単位元とは、N の任意の元 n に対し、 e + n = n = n + e を満たす N の元 e のことをいう。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/27 08:43 UTC 版)
可換環 R を固定して考える。結合 R-代数とは、加法的に書かれたアーベル群 A であって、環および R-加群の構造をともに備え、かつ環としての乗法が任意の r ∈ R, x, y ∈ A について r ⋅ ( x y ) = ( r ⋅ x ) y = x ( r ⋅ y ) {\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)} を満たすという意味で R-双線型となるものをいう。 結合代数 A が単型あるいは単位的であるとは、 1 x = x = x 1 {\displaystyle 1x=x=x1} を如何なる x ∈ A についても満たすような元 1 ∈ A を持つことをいう。 結合代数 A が、それ自身環として可換ならば、A は可換 R-代数と言う。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/05/11 23:15 UTC 版)
与えられた体 (K,+,×) が形式的に実であるとは、どのように自然数 n を選んでも x1, x2, …, xn ∈ K ならば x 21 + x 22 + ⋯ + x 2n ≠ −1 を満たすときに言う。 体 F に対して以下の条件は同値であることは容易に確認できる: −1 が F の平方元の和に等しくなることは無い。即ち F のStufe（英語版）が無限大。 標数が 2 でない体 F において、F の平方元の和に書くことができない元が存在する。 F の平方元の和が零に等しいならば、その和に現れる全ての平方元がそれぞれ零に等しい。 即ち、これらの条件のうちの一つ（したがって三つすべて）を満たす体は形式的に実である。 1 (=12) は平方元であり、定義により形式的実体において 12 + 12 + … + 12 の形の元が 0 に等しいことはないから、形式的実体の標数は必ず 0 である。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/23 10:19 UTC 版)
圏 C とその上の自己関手 F: C → C に対し、F-代数とは C の対象 A と C の射 α: F(A) → A との組 (A, α) のことをいう。この意味で、F-代数は F-余代数の双対である。 F-代数 (A, α) から別の F-代数 (B, β) への F-代数の準同型とは、C-射 f: A → B で条件 f ∘ α = β ∘ F ( f ) {\displaystyle f\circ \alpha =\beta \circ F(f)} を満たす（すなわち、右図の図式を可換にする）ものをいう。 F-代数の全体は、F-代数準同型を射として圏をなす。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/08 09:27 UTC 版)
「ダルトン・アトキンソン尺度」の記事における「厳密な定義」の解説
今、国民がn 人いるとし、国民 i の所得を Yi とし、その平均値を Y ¯ {\displaystyle {\overline {Y}}} とする。さらに、所得がY 円である人の効用（≒満足度）をU (Y ) とする。このとき、「社会全体にとって有益さ」（社会厚生関数）W は、 W = U (Y1 ) + … + U (Yn ) である。 一方、所得を完全に平等に再分配し、国民の所得を全員 ( 1 − D ) Y ¯ {\displaystyle (1-D){\overline {Y}}} 円にした場合のW は n ⋅ U ( ( 1 − D ) Y ¯ ) {\displaystyle n\cdot U((1-D){\overline {Y}})} である。 このとき、ダルトン・アトキンソン尺度は、 U ( Y 1 ) + ⋯ + U ( Y n ) = n ⋅ U ( ( 1 − D ) Y ¯ ) {\displaystyle U(Y_{1})+\cdots +U(Y_{n})=n\cdot U((1-D){\overline {Y}})} となるときのD の事である。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/15 14:26 UTC 版)
時間尺度あるいは測度鎖 (measure chain) とは実数直線 ℝ の任意の閉部分集合のこととする。一般の時間尺度を表すのに 𝕋 がよく用いられる。 時間尺度として最もよく遭遇するふたつが、実数全体 ℝ や離散時間 hℤ である。 A single point in a time scale is defined as: t : t ∈ T {\displaystyle t:t\in \mathbb {T} }
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/17 06:44 UTC 版)
「超実数#超実体」も参照 X はチホノフ空間（英語版）（T3½-空間とも）とし、C(X) で X 上定義される実数値連続函数全体の成す線型環を表す。C(X) の素イデアル P に対し、剰余線型環 A := C(X)/P は、定義により環として整域を成す実線型環で、全順序付けられていると考えることができる。A の商体 F が準超実体 (super-real field) であるとは、F が真に実数体 ℝ を含む—ゆえに F は ℝ に順序同型 (order isomorphic) でない—ときに言う。 素イデアル P が極大イデアルならば、F は超実体—「超実数」全体の成す体—となる（ロビンソンの超実数の体はその非常に特別な場合である）。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/08 00:25 UTC 版)
下の利得行列で表されたゲームが協調ゲームであるとき、(行プレイヤーの利得に関して) A > B , D > C {\displaystyle A>B,D>C} 、(列プレイヤーの利得に関して) a > b , d > c {\displaystyle a>b,d>c} の二つの不等式条件が成り立つ。戦略のペア (H,H) と (G,G) の二つのみが純粋戦略ナッシュ均衡であることが分かる. 加えて一つの 混合戦略ナッシュ均衡が存在し、それは行プレイヤーが p = ( d − c ) / ( a − b − c + d ) {\displaystyle p=(d-c)/(a-b-c+d)} の確率で戦略 H、1−p の確率で戦略 G、列プレイヤーが q = ( D − C ) / ( A − B − C + D {\displaystyle q=(D-C)/(A-B-C+D} )の確率で戦略 H、1−q の確率で戦略 G をプレイすることである。 戦略の組み合わせ (H,H) は A ≥ D , a ≥ d {\displaystyle A\geq D,a\geq d} かつ、 A > D {\displaystyle A>D} または a > d {\displaystyle a>d} が成り立っているとき (G,G) を利得支配する。戦略の組み合わせ (G,G) は、ある戦略の組み合わせから逸脱したときの各プレイヤーの損失の積が、 ( G , G ) {\displaystyle (G,G)} の場合のときが最も高いなら (H,H) をリスク支配 する(Harsanyi & Selten 1988, Lemma 5.4.4)。言い換えると, 不等式条件 ( D − C ) ( d − c ) ≥ ( B − A ) ( b − a ) {\displaystyle (D-C)(d-c)\geq (B-A)(b-a)} が成り立つことである. この不等式条件が強い場合(不等号記号が >)、(G,G) は (H,H) を強くリスク支配するという2。 A = a , B = b {\displaystyle A=a,B=b} 等となっている対称ゲームの場合、不等式条件は以下のようなシンプルな解釈を与えてくれる。プレイヤーは他のプレイヤーがどの戦略を選んで確率を付与するか不確かであると仮定する。すると、各プレイヤーが戦略 H と G にそれぞれ確率 1/2 を与えるとすると、戦略 G をプレイすることによる期待利得が戦略 H のそれを上回るとき( 1 / 2 B + 1 / 2 D ≥ 1 / 2 A + 1 / 2 C {\displaystyle 1/2B+1/2D\geq 1/2A+1/2C} または単純に B + D ≥ A + C {\displaystyle B+D\geq A+C} )、(G,G) は (H,H)をリスク支配する。 リスク支配的な均衡を導く他の方法は、全ての均衡の危険因子を計算してそれが最小となる均衡を見つけることである。 前述の2×2ゲームの危険因子を計算してみよう。プレイヤーが戦略 H をプレイするときの期待利得は E [ π H ] = p A + ( 1 − p ) C {\displaystyle E[\pi _{H}]=pA+(1-p)C} である（p は他プレイヤーが戦略 H をとる確率)。 戦略 G の場合の E [ π G ] = p B + ( 1 − p ) D {\displaystyle E[\pi _{G}]=pB+(1-p)D} と比較して、 二つの期待利得を等号で結びつける p の値が均衡 (H,H) の危険因子である。当然、 1 − p {\displaystyle 1-p} は ( G , G ) {\displaystyle (G,G)} の危険因子である。p を他のプレイヤーが戦略 G をとる確率とすることで、戦略 ( G , G ) {\displaystyle (G,G)} をプレイすることによる危険因子を同様に計算できる。 p {\displaystyle p} は、自分がある相手の戦略を真似することで得る利得が、他の戦略をとったときより高くしたい際に、その戦略をとると最低限保証されなくてはならない相手がその戦略をとる確率である。 行＼列 H G H A,a C,b G B,c D,d
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:37 UTC 版)
環 R 上の左 R-加群もしくは R-左加群とは、アーベル群 (M, +) とスカラー乗法と呼ばれる作用 R × M → M の組であって、その作用（通常は、r ∈ R と x ∈ M に対して x のスカラー r-倍を単に文字を併置して rx と記す）は、r, s ∈ R, x, y ∈ M は任意として、条件 r ( x + y ) = r x + r y , {\displaystyle r(x+y)=rx+ry,} ( r + s ) x = r x + s x , {\displaystyle (r+s)x=rx+sx,} ( r s ) x = r ( s x ) , {\displaystyle (rs)x=r(sx),} 1 R x = x {\displaystyle 1_{R}x=x} を満足するものでなければならない（最後の条件は R が乗法単位元を持つときで、それを 1R で表している。環が単位的であることを仮定しない文脈では、R-加群の定義においてこの最後の条件も課されず、特にこの条件をも満足することで定まる構造を単位的左 R-加群、単型 R-左加群などと呼んで区別する。本項では用語の一貫性を図るため、特に断りの無い場合は環も加群も単位的であると仮定する）。 しばしば、スカラーの作用を fr のような形に書くこともあり、もちろん fr(x) = rx なのだが、このように書くと f を R の各元 r を対応する作用素 fr へ移す写像とみることもできて、たとえば先ほどの加群の公理の最初の条件は fr が M 上の自己準同型となることを述べていて、残りの条件は f が R から自己準同型環 End(M) への環準同型となることを要請するものになっている。すなわち、環上の加群とは環作用を持つアーベル群のことである（群作用あるいは作用も参照）。この意味では、環上の加群の理論は群の（あるいは同じことだが群環の）ベクトル空間における作用を扱う群の表現論（線型表現論）の一般化である。 通常は演算を省略して、単に「左 R-加群 M」とか、係数環を明示するために RM のように記す。環の作用の向きだけ右からに変更して（つまり M × R → M の形のスカラー乗法があって、左加群の公理でスカラーを左に書いていたところを、スカラー r や s を x, y の右側に書くようにして）、同様に右 R-加群 M, MR が定義される。 両側加群 (bimodule)は、左加群でも右加群でもあってなおかつそれらの作用が可換となるようなものである。 Rが可換環ならば、左 R-加群と右 R-加群の概念は一致し、単に R-加群と呼ばれる。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 13:27 UTC 版)
k {\displaystyle k} をセキュリティ・パラメータとし、 Π = ( G , E , D ) {\displaystyle \Pi =(G,E,D)} を公開鍵暗号方式とする。 A , B {\displaystyle A,B} を多項式時間機械とする。 さらに、 O 1 , O 2 {\displaystyle O_{1},O_{2}} をオラクルとする。 次の2つのゲームを考える。ただしゲーム中で、 M , f {\displaystyle M,f} は多項式時間機械（の動作を記したプログラム）、 S t {\displaystyle St} はビット列で、 A {\displaystyle A} の状態と呼ばれる。 E x p Π − S S − R e a l ( O 1 , O 2 ) ( A , k ) {\displaystyle {\mathsf {Exp}}_{\Pi -{\mathsf {SS-Real}}}^{(O_{1},O_{2})}(A,k)} ( p k , s k ) ← G ( 1 k ) {\displaystyle {\mathsf {(pk,sk)}}\gets G(1^{k})} ( M , S t ) ← A O 1 ( p k ) {\displaystyle (M,{\mathsf {St}})\gets A^{O_{1}}({\mathsf {pk}})} m ← M {\displaystyle m\gets M} C ← E p k ( m ) {\displaystyle C\gets E_{\mathsf {pk}}(m)} ( y , f ) ← A O 2 ( C , S t ) {\displaystyle (y,f)\gets A^{O_{2}}(C,{\mathsf {St}})} If y = f ( m ) {\displaystyle y=f(m)} , return 1. Otherwise return 0. E x p Π − S S − I d e a l ( O 1 , O 2 ) ( B , k ) {\displaystyle {\mathsf {Exp}}_{\Pi -{\mathsf {SS-Ideal}}}^{(O_{1},O_{2})}(B,k)} ( p k , s k ) ← G ( 1 k ) {\displaystyle {\mathsf {(pk,sk)}}\gets G(1^{k})} ( M , S t ) ← B O 1 ( p k ) {\displaystyle (M,{\mathsf {St}})\gets B^{O_{1}}({\mathsf {pk}})} m ← M {\displaystyle m\gets M} ( y , f ) ← B O 2 ( S t ) {\displaystyle (y,f)\gets B^{O_{2}}({\mathsf {St}})} If y = f ( m ) {\displaystyle y=f(m)} , return 1. Otherwise return 0. 任意の多項式時間機械 A {\displaystyle A} に対し、ある多項式時間機械 B {\displaystyle B} が存在し、 | Pr ( E x p Π − S S − R e a l ( O 1 , O 2 ) ( A , k ) = 1 ) − Pr ( E x p Π − S S − I d e a l ( O 1 , O 2 ) ( B , k ) ) | {\displaystyle |\Pr({\mathsf {Exp}}_{\Pi -{\mathsf {SS-Real}}}^{(O_{1},O_{2})}(A,k)=1)-\Pr({\mathsf {Exp}}_{\Pi -{\mathsf {SS-Ideal}}}^{(O_{1},O_{2})}(B,k))|} が k に関して無視できるとき、公開鍵暗号方式 Π = ( G , E , D ) {\displaystyle \Pi =(G,E,D)} は ( O 1 , O 2 ) {\displaystyle (O_{1},O_{2})} -強秘匿 (Semantic Secure) であるという。 O 1 = ⊥ {\displaystyle O_{1}=\bot } 、 O 2 = ⊥ {\displaystyle O_{2}=\bot } のとき、公開鍵暗号方式 Π {\displaystyle \Pi } はKey Only Attackに対し、強秘匿であるという。 O 1 = O d e c ( s k , ∅ , ⋅ ) {\displaystyle O_{1}=O_{\mathsf {dec}}({\mathsf {sk}},\emptyset ,\cdot )} 、 O 2 = ⊥ {\displaystyle O_{2}=\bot } であるとき、公開鍵暗号方式 Π {\displaystyle \Pi } は選択暗号文攻撃（Chosen Chiphertext Attack,（略してCCA1）） に対して強秘匿であるという。 O 1 = O d e c ( s k , ∅ , ⋅ ) {\displaystyle O_{1}=O_{\mathsf {dec}}({\mathsf {sk}},\emptyset ,\cdot )} 、 O 2 = O d e c ( s k , { m 0 , m 1 } , ⋅ ) {\displaystyle O_{2}=O_{\mathsf {dec}}({\mathsf {sk}},\{m_{0},m_{1}\},\cdot )} であるとき、公開鍵暗号方式 Π {\displaystyle \Pi } は適応的選択暗号文攻撃（Adaptive Chosen Chiphertext Attack,（略してCCA2））に対して強秘匿であるという。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 09:39 UTC 版)
X と Y は局所凸位相線型空間とし、U ⊂ X は開集合、 F: X → Y とするとき、F の u ∈ U における ψ ∈ X 方向へのガトー微分係数 dF(u; ψ) は ( 1 ) d F ( u ; ψ ) = lim τ → 0 F ( u + τ ψ ) − F ( u ) τ = d d τ F ( u + τ ψ ) | τ = 0 {\displaystyle (1)\quad dF(u;\psi )=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}} として右辺の極限が存在する限りにおいて定める。この極限が任意の ψ ∈ X に対して存在するとき、F は u においてガトー微分可能 (Gâteaux differentiable) であると言う。 定義式 (1)に現れる極限の取り方は Y の位相と関係する。X および Y がともに実位相線型空間ならば、極限は実数 τ に関して取る。一方、X および Y が複素位相線型空間ならば上記は複素可微分性の定義におけると同様に複素数平面において τ → 0 とする極限を考えるのが普通である。また強収斂極限の代わりに弱収斂極限を取ることもあり、その場合弱ガトー微分の概念が導かれる。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/29 04:17 UTC 版)
述語 b : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } {\displaystyle b:\{0,1\}^{*}\to \{0,1\}} が以下を満たすとき、関数 f のハードコア述語であるという: b は多項式時間で計算可能。すなわちある多項式時間アルゴリズム B が存在して, B ( x ) = b ( x ) {\displaystyle B(x)=b(x)} 。 任意の多項式サイズ回路族 { C n } {\displaystyle \{C_{n}\}} について, ある無視可能函数 ε が存在し, P r [ x ← R { 0 , 1 } n : C n ( f ( x ) ) = b ( x ) ] < 1 2 + ϵ ( n ) {\displaystyle Pr[x\gets _{R}\{0,1\}^{n}:C_{n}(f(x))=b(x)]<{\frac {1}{2}}+\epsilon (n)}
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/13 09:12 UTC 版)
実確率変数 X の累積分布関数を F(x) とするとき、 F(x) は実数値非単調減少関数、右連続関数となる。この時、次の不等式を満たす実数 m を中央値（メディアン）と呼ぶ。 ∫ − ∞ m d F ( x ) ≥ 1 2 and ∫ m ∞ d F ( x ) ≥ 1 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{m}\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ and }}\int _{m}^{\infty }\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}\,\!} ただし、積分記号はリーマン＝スティルチェス積分の意味である。 データの大きさが有限値（n とする）である場合は、以下のように簡単に記述することができる。（ただし、同一の順位が無いと仮定する。） データの値を x1, x2, …, xn とする。それらを小さい順に並べ替えたものを x′1, x′2, …, x′n とするとき、 x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} の中央値 Q 1 2 ( x ) {\displaystyle \mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)} は Q 1 2 ( x ) = { x n + 1 2 ′ n は奇数 1 2 ( x n 2 ′ + x n 2 + 1 ′ ) n は偶数 {\displaystyle \mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)={\begin{cases}x'_{\frac {n+1}{2}}&n{\text{ は奇数}}\\{\dfrac {1}{2}}(x'_{\frac {n}{2}}+x'_{{\frac {n}{2}}+1})&n{\text{ は偶数}}\end{cases}}} により定義される。なお、単純に Q 1 2 ( x ) = x n 2 {\displaystyle \mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)=x_{\frac {n}{2}}} とならないのは、 x {\displaystyle x} の添字が 0, …, n ではなく 1, …, n だからである。 中央値は T ( t ) = ∑ i = 1 n | x i − t | {\displaystyle \mathrm {T} (t)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}-t|} を最小にする性質をもっている。（ただし、そうなる値は一意ではない） すなわち中央値はデータの値との絶対差（距離）の総和を最小にする値である（データの大きさが偶数のときは、その値 t は一意には定まらないが便宜上、上で述べた定義を採用する）。 またこれを大きさ n で割ったものを平均偏差 (Mean deviation) という。 平均偏差は、値と中央値の絶対差の平均であり、同じ次元である標準偏差などと比べ、平方根をとる必要がなく、簡単な値となる。
※この「厳密な定義」の解説は、「中央値」の解説の一部です。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 07:43 UTC 版)
行列は二重に添字づけられた族であり、添字の各対 (i, j) に成分 aij を割り当てる二変数写像 A : { 1 , … , m } × { 1 , … , n } → K ; ( i , j ) ↦ a i j {\displaystyle A\colon \{1,\ldots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}\to K;\quad (i,j)\mapsto a_{ij}} である。例えば添字の対 (1, 2) には写像の値として a12 が割り当てられる。値 aij は行列の i-行 j-列成分であるといい、m および n はそれぞれ行および列の数を意味する。写像としての行列の定義と行列が表す線型写像とを混同してはならない。 K に成分を持つ m × n 行列の全体は、したがって配置集合 map ( { 1 , … , m } × { 1 , … , n } , K ) = K { 1 , … , m } × { 1 , … n } {\displaystyle \operatorname {map} (\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots ,n\},K)=K^{\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots n\}}} であり、省略形として Km×n（あるいはやや稀だが mKn）や M(m×n; K) などと書くことの一つの根拠になる。 行の数と列の数が一致するような行列は正方行列と呼ばれる。 ただ一つの列を持つ行列は列ベクトル、ただ一つの行を持つ行列は行ベクトルと呼ばれる。Kn のベクトルは、文脈によって行ベクトル空間 K1×n または列ベクトル空間 Kn×1 の元を表すのにも用いられる。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/03 02:49 UTC 版)
十分大きい全ての実数 x に対し定義されている実数値関数 f(x) と g(x) に対し、 f ( x ) = O ( g ( x ) ) ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)=O(g(x))\quad (x\to \infty )} を ∃ x 0 , ∃ M > 0 s.t. ∀ x [ x > x 0 ⇒ | f ( x ) | < M | g ( x ) | ] {\displaystyle {}^{\exists }x_{0},{}^{\exists }M>0\quad {\text{ s.t. }}\quad {}^{\forall }x\;[x>x_{0}\Rightarrow |f(x)|
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/30 03:14 UTC 版)
双曲 n {\displaystyle n} -多様体は、断面曲率が定数 -1 であるような完全 n-次元リーマン多様体である。 負の定曲率 −1 であるすべての完全、連結、単連結多様体は、実双曲空間 H n {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} と等長である。その結果、負の定曲率 −1 である任意の閉多様体 M の普遍被覆は H n {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} である。したがって、そのようなすべての M は、 H n {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} 上の等長写像の捩れのない離散群を Γ とすると、 H n / Γ {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}/\Gamma } と書くことが出来る。すなわち、Γ は S O 1 , n + R {\displaystyle SO_{1,n}^{+}\mathbb {R} } の離散部分群である。多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、Γ が格子であることである。 その厚薄分解（英語版）は、閉測地線の管状近傍からなる薄い部分と、ユークリッド n-1-次元多様体と閉半直線の積である厚い部分からなる。多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、その厚い部分がコンパクトであることである。 n > 2 に対し、双曲 n-次元多様体の有限体積上の双曲構造は、モストウの剛性定理によって一意であり、したがって幾何的不変性は位相的不変性である。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/19 07:38 UTC 版)
まず、実平面（ユークリッド平面）上の点の斉次座標を定義する。三つの実数の組 [x : y : z] で表し、 [x' : y' : z' ] = [λx : λy : λz] (λ ∈ R) となるような組 [x' : y' : z' ] は全て [x : y : z] と同じものであると見なそう。 このとき、三つ組 [x : y : z] はその比 x : y : z = x/z : y/z : 1 によって決まるから、平面上の点 (a, b) と三つ組 [a : b : 1] を一対一に対応付けることができる。これを平面上の点の斉次座標とよぶ。これはつまり、三次元空間における直線を別の平面の点と見ていると考えることもできる。 P2(R) = {[x : y : z] | x, y, z ∈ R} と書いて、実射影平面と呼ぶ。すると、上で述べたことは 実平面 R2 は実射影平面 P2(R) に埋め込めるということに他ならない。このとき、P2(R) における R2 の補空間 l∞ := P2(R) ∖ {\displaystyle \setminus } R2 = {[x : y : z] ∈ P2(R) | z = 0} の点のことを無限遠点と呼ぶ。特に l∞ = {[t : 1 : 0] ∈ P2(R)} と書けるから、無限遠点の全体は直線になる。この l∞ を無限遠直線と呼ぶ。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 08:49 UTC 版)
Xを位相空間、x0 を X 上の点とし、f: X → R ∪ {−∞, +∞} は拡大実数値関数とする。任意の ε >0 に対してx0 の近傍 U が存在し、U に属するどの x に対しても f(x) ≤ f(x0) + ε となるとき、あるいは同じことだが、 lim sup x → x 0 f ( x ) ≤ f ( x 0 ) {\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})} となるとき、f は x0 で上半連続であると言う。ここで lim sup は（x0 における関数 f の）上極限である。 函数 f が上半連続函数であるとは、それが定義域の全ての点において上半連続であることをいう。函数 f が上半連続函数となるための必要十分条件は、集合 {x ∈ X : f(x) < α} がいずれの α ∈ R についても開集合となることである。 同様に、函数 f が点 x0 において下半連続であるとは、任意の ε > 0 に対し、x0 の近傍 U で U の各点 x において f(x) ≥ f(x0) − ε となるようなものが存在すること、あるいは同じことだが、 lim inf x → x 0 f ( x ) ≥ f ( x 0 ) {\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})} が成立することをいう。ここで lim inf は（点 x0 における函数 f の）下極限である。 函数 f が下半連続函数であるとは、それがその定義域の全ての点で下半連続となるときにいう。函数 f が下半連続函数となるのは、任意の α ∈ R に対して {x ∈ X : f(x) > α} が開集合となるときであり、かつそのときに限る。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 03:14 UTC 版)
R を可換環とするとき、R 上の多元環 (R-algebra) とは、R-加群 A であって、A の乗法と呼ばれる双線型な二項演算 [ ∙ , ∙ ] : A × A → A {\displaystyle [\bullet ,\,\bullet ]\colon A\times A\to A} を備えたものを言う。即ち A の乗法は任意のスカラー a, b ∈ R と任意の元 x, y, z ∈ A について 双線型性: [ a x + b y , z ] = a [ x , z ] + b [ y , z ] , [ z , a x + b y ] = a [ z , x ] + b [ z , y ] {\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]} を満たす。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/17 10:22 UTC 版)
( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} と ( Y , T ) {\displaystyle (Y,\mathrm {T} )} を可測空間、つまり X および Y はそれぞれ σ-代数 Σ {\displaystyle \Sigma } および T {\displaystyle \mathrm {T} } を備えた集合とする。関数 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が可測であるとは、すべての E ∈ T {\displaystyle E\in \mathrm {T} } に対して f − 1 ( E ) ∈ Σ {\displaystyle f^{-1}(E)\in \Sigma } が成り立つことを言う。この可測性の概念は、σ-代数 Σ {\displaystyle \Sigma } および T {\displaystyle \mathrm {T} } に依存する。そのことを強調するために、 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が可測関数であるとき f : ( X , Σ ) → ( Y , T ) {\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )} と書くことがある。あるいは、 f {\displaystyle f} を ( Σ , T ) {\displaystyle (\Sigma ,\mathrm {T} )} -可測ということがある。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 14:00 UTC 版)
環とは、集合 R とその上の二つの二項演算、加法 +: R × R → R および乗法 ∗: R × R → R の組 (R,+,∗) で、「環の公理系」と呼ばれる以下の条件を満たすものを言う（環の公理系にはいくつか異なる流儀があるが、それについては後で触れる）。 加法群 (R, +) はアーベル群である加法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a + b ∈ R が成り立つ。 加法の結合性： 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ。 加法単位元（零元）の存在：如何なる a ∈ R に対しても共通して 0 + a = a + 0 = a を満たす 0 ∈ R が存在する。 加法逆元（反元、マイナス元）の存在： 各 a ∈ R ごとに a + b = b + a = 0 を満たす b ∈ R が存在する。 加法の可換性： 任意の a, b ∈ R に対して a + b = b + a が成立する。 乗法半群 (R,∗) はモノイド（あるいは半群）である乗法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a ∗ b ∈ R が成り立つ。 乗法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a ∗ b)∗ c = a ∗(b ∗ c) が成立する。 乗法に関する単位元を持つ。 分配律 乗法は加法の上に分配的である左分配律: 任意の a, b, c ∈ R に対して a ∗(b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c) が成り立つ。 右分配律: 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b)∗ c = (a ∗ c) + (b ∗ c) が成り立つ。 が成り立つものをいう。乗法演算の記号 ∗ は普通省略されて、a ∗ b は、ab と書かれる。 よく知られた整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q, 実数全体の成す集合 R あるいは複素数全体の成す集合は通常の加法と乗法に関してそれぞれ環を成す。また別な例として、同じサイズの正方行列全体の成す集合も行列の和と乗法に関して環を成す（この場合の環としての零元は零行列、単位元は単位行列で与えられる）。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/02 09:20 UTC 版)
非負整数 n に対して n-次元ユークリッド空間 En とは、空でない集合 S と n-次元実内積空間 V の組 (S, V) で、次をみたすものをいう： 各 P, Q ∈ S に対して、V のベクトル P Q → {\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}} が一つ定まっている。 任意の P, Q, R ∈ S に対して、 P Q → + Q R → = P R → {\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}} 。 任意の P ∈ S と任意の v ∈ V に対して、ただ一つ Q ∈ S が存在して、 v = P Q → {\displaystyle v={\overrightarrow {PQ}}} 。 ある非負整数 n に対する n-次元ユークリッド空間であるものを単にユークリッド空間と呼ぶ。 数空間 Rn の各点 x, y に対して x y → := y − x {\displaystyle {\overrightarrow {xy}}:=y-x} と定義すれば、Rn と（標準内積を持った内積空間としての）Rn の組 (Rn, Rn) はユークリッド空間の一つの例であり、これを n-次元の標準的ユークリッド空間と呼ぶ（記号の濫用で、これをやはり単に Rn で表す）。 (S, V) を n-次元ユークリッド空間とするとき、S の点 O と V の順序付けられた基底 B := (e1, e2, …, en) の組 (O; B) を (S, V) の座標系と呼び、点 O を座標系の原点と呼ぶ。特に (e1, e2, …, en) が V の正規直交基底であるような座標系を直交座標系と呼ぶ。(S, V) の座標系 (O; B) が一つ固定されると、任意の P ∈ S に対して、ただ一つの x = (x1, x2, …, xn) ∈ Rn が存在して、 O P → = x 1 ⋅ e 1 + ⋯ + x n ⋅ e n {\displaystyle {\overrightarrow {OP}}=x_{1}\cdot \mathbf {e} _{1}+\cdots +x_{n}\cdot \mathbf {e} _{n}} が成り立つ。そこで、この x ∈ Rn を座標系 (O; B) における P の座標と呼ぶ。 いったん直交座標系が固定されると、n-次元ユークリッド空間 (S, V) は n-次元の標準的ユークリッド空間 (Rn, Rn) と同一視することができるので、ユークリッド空間といったら標準的ユークリッド空間のことを指す場合も多い。 なお、n-次元ユークリッド空間の定義において、「実内積空間」を「実ベクトル空間」に置き換えて得られる空間を n-次元アフィン空間と呼ぶ。ユークリッド空間は計量（内積）をもった特別なアフィン空間であるということができる。計量をもたないアフィン空間においては、二点間の距離や線分のなす角などは定義されないが、ユークリッド空間においてはこれらの概念を以下に述べる仕方で定義することができる。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/08 14:43 UTC 版)
まず一点集合の次元は 0 で、一点集合の境界は空であって欲しいというところから ind ( ∅ ) = Ind ( ∅ ) = − 1 {\displaystyle {\text{ind}}(\emptyset )={\text{Ind}}(\emptyset )=-1} と仮定するところから始める。次に ind(X) は、 任意の x ∈ X と x を含む開集合 U に対して、x を含む開集合 V で V の閉包が U に含まれ、かつ V の境界の小さい帰納次元が高々 n − 1 であるようなものが存在する という条件を満たすような n の最小値として帰納的に定義される。最初の例では X を n-次元ユークリッド空間、V を x を中心とする n-次元球体と選べばよい。 大きい帰納次元の場合は、V の選び方にさらに制限を加える。すなわち、Ind(X) は X の任意の開集合の閉部分集合 F に対し、中間開集合 V（つまり F は V に含まれ、かつ V の閉包が U に含まれるような V）が存在して、V の境界の大きい帰納次元が高々 n − 1 である という条件を満たすような n の最小値として帰納的に定義される。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/06 04:20 UTC 版)
「二人零和有限確定完全情報ゲーム」の記事における「厳密な定義」の解説
二人零和有限確定完全情報ゲームは厳密には二人展開型ゲームとして定義される。以下プレイヤーの名前をA、Bとすると、 二人展開型ゲームが零和であるとはAの利得関数EAとBの利得関数EBがEA＝-EBを満たす事を言う 二人展開型ゲームが有限であるとはゲーム木が有限グラフである事を言う 二人展開型ゲームが確定であるとは偶然手番が存在しない事を言う 二人展開型ゲームが完全情報であるとは全ての情報集合が唯一つの手番からなる事を言う
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:05 UTC 版)
結び目とは、円周あるいは一次元球面 S1 の三次元空間 R3 への埋め込みを言う。文献によってはコンパクト空間である三次元球面 S3 への埋め込みを考えるものもある。二つの結び目が同値であるとは、それらの間に全同位変形（英語版）が存在するときに言う。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:07 UTC 版)
位相空間 X の部分集合 A が X において稠密であるとは、X の各元 x に対し、x の任意の近傍が A の元を少なくとも一つ含むことをいう。同じことだが、A が X において稠密であるのは、A を含む X の閉集合が X 自身しかないときであり、かつそのときに限る。これは A の閉包 A が X に一致すると言ってもよい。あるいは、A の補集合の内部が空であるともいえる。 位相空間 X の稠密度 (density) とは、X の稠密部分集合の最小濃度をいう。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/17 00:27 UTC 版)
N {\displaystyle {\mathbb {N} }} で自然数の集合を表す。Σ = {0, 1} とし、 Σ ∗ = ∪ k ∈ N Σ k {\displaystyle \Sigma ^{*}=\cup _{k\in {\mathbb {N} }}\Sigma ^{k}} とする。 関数 f : Σ ∗ → Σ ∗ {\displaystyle f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}} が以下を満たす時、関数 f {\displaystyle f} は一方向性関数であるという： f {\displaystyle f} は多項式時間で計算可能。すなわちある多項式時間アルゴリズム C があって C(x) = f(x) 任意の多項式時間アルゴリズム A に対し、ある 無視可能函数 ν {\displaystyle \nu } と、ある k 0 ∈ N {\displaystyle k_{0}\in {\mathbb {N} }} が存在して、全ての k > k0 に対し、 P r [ x ← R Σ k , y ← f ( x ) , x ′ ← A ( 1 k , y ) : y = f ( x ′ ) ] ≤ ν ( l ) . {\displaystyle Pr\left[x\gets _{R}\Sigma ^{k},y\gets f\left(x\right),x'\gets A\left(1^{k},y\right):y=f\left(x'\right)\right]\leq \nu \left(l\right).}
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 16:01 UTC 版)
積分のきちんとした定義は様々な仕方があり、それらの全てが同値なわけではない。異なる定義が用いられるのは、その殆どが別な定義では積分が定義できない特別な場合に別な扱いを与えるためであるが、それだけでなく時に教育上の理由が介在することもある。最も広く用いられる積分法はリーマン積分とルベーグ積分である。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 05:59 UTC 版)
（カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた）集合 X の濃度の最も古い定義は、X と一対一対応のつくすべての集合からなるクラス [X] としての定義である。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。それは、X が空でないならば、一対一対応のつくすべての集合をあつめたものは集合にしては大きすぎるからである。実際、 X を空でない集合としたとき、集合 S に {S} × X を対応させる写像を考える事によって、宇宙から [X] への単射が存在し、サイズの限界（英語版）より、[X] は真のクラスである。 フォン・ノイマンの割り当て 選択公理を仮定すると集合 X にたいし濃度 | X | を | X | := min{α∈ON : |α| = | X | } と定義できる 。これをフォン・ノイマンの割り当てという。 スコットのからくり 正則性公理の元、任意のクラスにたいし画一的に（そのクラスの部分クラスとなるような）集合を割り当てる方法であるスコットのからくり（英語版）を使うと、 整列可能とは限らない集合 X に濃度 | X | を以下のように割り当てることが出来る（詳しくはスコットのからくり（英語版）を参照）。 | X | := {A : | A | = | X | かつ、任意の集合 B にたいし「| B | = | X | → rank( A) ≤ rank( B)」} どのような定義を採用するにしろ集合の濃度が等しいのは、それらの間に全単射が構成できるちょうどそのときである。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
V を n 次元実ベクトル空間とし、 η : V × V → R {\displaystyle \eta \colon V\times V\to \mathbb {R} } を V 上の対称二次形式とする。このとき、V の基底 e→1, ..., e→n と非負整数 p、q が存在し、 η ( ∑ μ a μ e → μ , ∑ ν b ν e → ν ) = a 1 b 1 + ⋯ + a p b p − a p + 1 b p + 1 − ⋯ − a p + q b p + q {\displaystyle \eta \left(\sum _{\mu }a^{\mu }{\vec {e}}_{\mu },\sum _{\nu }b^{\nu }{\vec {e}}_{\nu }\right)=a^{1}b^{1}+\cdots +a^{p}b^{p}-a^{p+1}b^{p+1}-\cdots -a^{p+q}b^{p+q}} が成立する事が知られている。しかも p、q は (V, η) のみに依存し、基底 e→1, ..., e→n には依存しない（シルヴェスターの慣性法則）。 p = 1、q = n − 1 となる二次形式 η をミンコフスキー計量と呼び、組 (V, η) を n次元ミンコフスキー空間という。 特殊相対性理論で用いるのは、次元 n が4の場合なので、以下特に断りがない限り、n = 4とする。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/07 02:24 UTC 版)
「カラーグラデーション」の記事における「厳密な定義」の解説
カラーマップとは、実数の値 r {\displaystyle r} を色空間 C {\displaystyle C} 上の点 c {\displaystyle c} に関連付ける関数である。 f : [ r m i n , r m a x ] ⊂ R → C {\displaystyle f:[r_{min},r_{max}]\subset \mathbf {R} \to C} これは、以下によって定義される。 色空間 C 標本点からなる増加列 r 0 < . . . < r m ∈ [ r m i n , r m a x ] {\displaystyle r_{0}<...<r_{m}\in [r_{min},r_{max}]} 色空間上の連続する値 c 0 , . . . , c m ∈ C {\displaystyle c_{0},...,c_{m}\in C} 写像 f ( r i ) = c i , i = 0 , . . . , m {\displaystyle f(r_{i})=c_{i},i=0,...,m} 中間値を内挿（補間）するための法則 r i − 1 < r < r i ∈ [ r m i n , r m a x ] {\displaystyle r_{i-1}<r<r_{i}\in [r_{min},r_{max}]} なお、上記の式中において、 rは実数 r ∈ [ r m i n , r m a x ] ⊂ R {\displaystyle r\in [r_{min},r_{max}]\subset \mathbf {R} } である。 R {\displaystyle \mathbf {R} } は、実数の集合である。 c は、色、すなわち色空間C上の点である。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 17:13 UTC 版)
一方の側が玉以外の駒の利きを敵玉の存在するマス目に合わせるような指し手、つまり玉に取りをかけることを“王手”といい、かけた側から見れば“王手をかける”という — 日本将棋連盟『将棋ガイドブック』より引用。句読点を含め全て原文のまま。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:33 UTC 版)
「多重集合#定義」も参照 定義 ファジィ集合とは、集合 U と U から単位閉区間 [0, 1] への函数 m: U → [0, 1] の対 (U, m) のことをいう。 函数 m をファジィ集合 (U, m) の帰属函数（membership function; メンバシップ函数）といい、各 x ∈ U に対して、値 m(x) は (U, m) における x の帰属度 (grade of membership) と呼ばれる。有限集合 U = {x1, …, xn} に対してファジィ集合 (U, m) をしばしば{m(x1)/x1, …, m(xn)/xn} のようにも書く。 ファジィ集合 (U, m) において、x ∈ U が m(x) = 0 のとき、このファジィ集合に含まれない (not included) または属さない m(x) = 1 のときまったく含まれる (fully included) 0 < m(x) < 1 となる x は (U, m) のファジィ元（fuzzy member; あいまい要素） という。また、 集合 {x ∈ U | m(x) > 0} をファジィ集合 (U, m) の台 (support) 集合 {x ∈ U | m(x) = 1} をファジィ集合 (U, m) の核 (kernel, core) と呼ぶ。 ときには、より一般化されたファジィ集合の一種として、帰属函数がある種の代数系や構造 L（L は一つ固定して考えることも動かして考えることもある）に値をとるようにすることもある（大抵は L が少なくとも順序集合や束となるくらいのことは仮定する）。これらを通常のファジィ集合と明示的に区別するときは、通常は L-ファジィ集合 (L-fuzzy set) や L-値帰属函数のようにいう。通常の単位閉区間値の帰属函数は [0, 1]-値帰属函数、通常のファジィ集合は [0, 1]-ファジィ集合である。このような一般化は、初め1967年にザデーの弟子 Joseph Goguen（英語版） によって与えられた。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/22 03:05 UTC 版)
n > 1 として、（右）「半開」n-次元超矩形領域（あるいは一次元の場合のアナロジーで単に区間とも呼ぶ）T を T = [ a 1 , b 1 ) × [ a 2 , b 2 ) × ⋯ × [ a n , b n ) ⊆ R n {\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}} で定義し、各区間 [aj, bj) を互いに交わらない左閉右半開小区間 ijα の有限族 Ij に分割すれば、半開小矩形の有限族 C が C = I 1 × I 2 × ⋯ × I n {\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}} によって得られ、これが半開超矩形 T の分割が得られる。すなわち、小矩形領域 Ck はどの二つも互いに素で、それらの和集合が T に一致する。 半開矩形領域 T 上で定義される函数 f: T → R と、上述のような T の分割 C が T = C 1 ∪ C 2 ∪ ⋯ ∪ C m {\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}} で与えられるとき、T と f が囲む領域の n-次元体積の総計をリーマン和 ∑ k = 1 m f ( P k ) vol ( C k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k}){\text{vol}}(C_{k})} によって近似することができる。ただし、Pk は Ck から取った代表点で、vol(Ck) は Ck を一次元区間の直積として表したときの各区間の長さの総乗、すなわち Ck の容積（測度）である。 分割の小矩形 Ck の径とは、Ck を直積として構成する一次元区間のうちの長さの最大値を言い、また矩形領域 T の与えられた分割の径とは、その分割に属する小矩形の径の最大値を言う。直観的に、分割の径をどんどん小さくしていけば、小矩形の総数 m はどんどん大きくなり、また各小矩形の容積 vol(Ck) はどんどん小さくなる。函数 f がリーマン可積分であるとは、径が高々 δ であるような T の可能な分割すべてを亘る極限 S = lim δ → 0 ∑ k = 1 m f ( P k ) vol ( C k ) {\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k}){\text{vol}}(C_{k})} が存在することを言う。f が T 上でリーマン可積分であるとき、先ほどの S を f の T 上のリーマン積分と呼び、 ∫ ⋯ ∫ T f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{T}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}} で表す。ベクトル記法 x = (x1, …, xn) を用いて簡潔に ∫ T f ( x ) d x {\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} } と書くこともある。このとき dx は n-次元体積要素を表す。 以上では T を半開矩形領域としたが、勝手な n-次元有界領域上の函数のリーマン積分は、与えられた函数を適当な半開矩形領域上で定義される函数に（もともとの定義域の外では値が 0 となるように）延長してやれば定義できる。すなわち、もともとの函数のもともとの領域上の積分というのを、この矩形領域上のいま延長した函数の積分として定義すればよい。このようにして定義される n-次元のリーマン積分を n に依らず総称して多重リーマン積分または単に重積分と呼ぶ。 また、n-次元ルベーグ測度 dxn に関するルベーグ積分を多重ルベーグ積分若しくは単に重積分と呼ぶこともある。
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厳密な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/11 13:49 UTC 版)
詳細は「指数函数の特徴付け（英語版）」を参照 指数関数 exp ( x ) {\displaystyle \exp(x)} を一意的に定義するための特徴付けは、同値な方法がいくつも知られている。中でも以下の冪級数 exp ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ {\displaystyle \exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots } で定義するのが典型的である。これは他の方法で指数関数を定義した場合に導くことのできる、指数関数のテイラー級数そのものである。 あまり典型的ではないが、自然対数関数の逆関数という意味で、指数関数 exp ( x ) {\displaystyle \exp(x)} を方程式 x = ∫ 1 y d t t {\displaystyle x=\int _{1}^{y}{dt \over t}} の解 y と定めることもできる。あるいはまた、以下の極限 exp ( x ) = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}} によっても同じものが定まる。
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