別な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 06:08 UTC 版)
K = ⟨ ( ∇ 2 ∇ 1 − ∇ 1 ∇ 2 ) e 1 , e 2 ⟩ det g , {\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}},} であることも分る。ここに ∇ i = ∇ e i {\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}} は共変微分であり、g は計量テンソルである。 R3 の中の正則曲面上の点 p において、ガウス曲率は、 K ( p ) = det ( S ( p ) ) , {\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} )),} によっても与えられる。ここに S はシェイプ作用素（英語版）(shape operator)である。 ガウス曲率の有用な公式は、等温座標（英語版）(isothermal coordinates)で書かれたラプラシアンの項で書かれたリウヴィル方程式である。
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