計量テンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/06/09 22:33 UTC 版)
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リーマン幾何学において計量テンソル（けいりょうテンソル、英: metric tensor）は、空間の局所ごとの構造を表す階数（rank）2のテンソル。
解説
距離と角度の定義を与える。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の計量テンソルが得られるときにその多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（Riemannian metric）とも呼ばれる。
ひとたびある座標系 xi が選ばれると、計量テンソルは行列で表される。通常、文字 G があてがわれ、各成分は gij とされる。Gは、ユークリッド空間のように平らな領域では単位行列となる。
以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法に従う。
時刻t1 から t2 までの曲線の長さは、t をパラメータとして、
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計量テンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/28 04:02 UTC 版)
式(1)の右辺に表れた行列 ( 1 cos ( ϕ − θ ) cos ( ϕ − θ ) 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}} は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。斜交座標系では計量テンソルg は g i j = ( e → 1 ⋅ e → 1 e → 1 ⋅ e → 2 e → 2 ⋅ e → 1 e → 2 ⋅ e → 2 ) = ( 1 cos ( ϕ − θ ) cos ( ϕ − θ ) 1 ) , g i j = ( e → 1 ⋅ e → 1 e → 1 ⋅ e → 2 e → 2 ⋅ e → 1 e → 2 ⋅ e → 2 ) = 1 sin 2 ( ϕ − θ ) ( 1 − cos ( ϕ − θ ) − cos ( ϕ − θ ) 1 ) = ( g i j ) − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\\{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}},\\g^{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{2}\\{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin ^{2}(\phi -\theta )}}{\begin{pmatrix}1&-\cos(\phi -\theta )\\-\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}=(g_{ij})^{-1}\end{aligned}}} となる。また反変成分と共変成分の変換は u i = g i j u j , u i = g i j u j {\displaystyle u_{i}=g_{ij}u^{j},\quad u^{i}=g^{ij}u_{j}} とシンプルに表すことができる．
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