計量テンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/28 02:00 UTC 版)
リーマン幾何学において計量テンソル（けいりょうテンソル、英: metric tensor）とは、空間の局所ごとの構造を表す階数（rank）2のテンソルである。距離と角度の定義を与える。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の計量テンソルが得られるときにその多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（Riemannian metric）とも呼ばれる。
- ^ 高橋康; 柏太郎 『量子場を学ぶための場の解析力学入門 増補版』（2版）講談社サイエンティフィク、2005年、10頁。ISBN 4-06-153252-9。
- 1 計量テンソルとは
- 2 計量テンソルの概要
- 3 例
- 4 参考文献
計量テンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/28 04:02 UTC 版)
式(1)の右辺に表れた行列 ( 1 cos ( ϕ − θ ) cos ( ϕ − θ ) 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}} は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。斜交座標系では計量テンソルg は g i j = ( e → 1 ⋅ e → 1 e → 1 ⋅ e → 2 e → 2 ⋅ e → 1 e → 2 ⋅ e → 2 ) = ( 1 cos ( ϕ − θ ) cos ( ϕ − θ ) 1 ) , g i j = ( e → 1 ⋅ e → 1 e → 1 ⋅ e → 2 e → 2 ⋅ e → 1 e → 2 ⋅ e → 2 ) = 1 sin 2 ( ϕ − θ ) ( 1 − cos ( ϕ − θ ) − cos ( ϕ − θ ) 1 ) = ( g i j ) − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\\{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}},\\g^{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{2}\\{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin ^{2}(\phi -\theta )}}{\begin{pmatrix}1&-\cos(\phi -\theta )\\-\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}=(g_{ij})^{-1}\end{aligned}}} となる。また反変成分と共変成分の変換は u i = g i j u j , u i = g i j u j {\displaystyle u_{i}=g_{ij}u^{j},\quad u^{i}=g^{ij}u_{j}} とシンプルに表すことができる．
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計量テンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 14:37 UTC 版)
「一般相対性理論の数学」の記事における「計量テンソル」の解説
詳細は「計量テンソル」および「計量テンソル (一般相対性理論)（英語版）」を参照 計量テンソルは、一般相対性理論において（アインシュタイン場の方程式を解いた結果としての）時空の局所幾何学を記述する中心的な対象である。弱い場の近似（英語版）を用いることで、計量テンソルは「重力ポテンシャル」を表現するものと考えることができる。計量テンソルは単に「計量」とのみ呼ばれることが多い。 計量は対称テンソルで、重要な数学的道具である。添字の上げ下げ（英語版）で用いられるだけでなく、計量はまた運動の測地線方程式やリーマン曲率テンソルを構成することに用いられる接続も生成する。 計量テンソルを、それが関連する座標区間の増加する間隔を組み合わせにおいて簡単に表すには、次の線素（英語版）を用いる。 d s 2 = g a b d x a d x b . {\displaystyle ds^{2}=g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}\ .} 計量を表すこの方法は、微分幾何学のパイオニアたちにより使われた。このいくらか古い形の記法を使う相対性理論者もいるが、多くは次のように別の記法と古い方法の双方を使っている。 g = g a b d x a ⊗ d x b . {\displaystyle g=g_{ab}\,dx^{a}\otimes dx^{b}\ .} 計量テンソルは通常、4 × 4 の行列で記述される。この行列は対称行列であるので、10個の独立した成分を持っている。
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計量テンソル
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「ペンローズのグラフ記法」の記事における「計量テンソル」の解説
計量テンソルは使われるテンソルの種類によってU字型ループもしくは逆U字型ループで表される。 計量テンソル g a b {\displaystyle g^{ab}} 計量テンソル g a b {\displaystyle g_{ab}}
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