接空間と計量テンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/27 02:53 UTC 版)
「擬リーマン多様体」の記事における「接空間と計量テンソル」の解説
詳細は「接空間」および「計量テンソル」を参照 接空間は、n 次元微分可能多様体 M の各々の点 p に付随し、TpM と書かれる。接空間は、その元が点 p を通る曲線の同値類と考えることができる n 次元ベクトル空間である。 計量テンソルは非退化であり、滑らかで、対称性を持つ双線形写像で、多様体の各々の接空間での接ベクトルのペアに実数を割り当てる。計量テンソルを g と書くと、これは g : T p M × T p M → R . {\displaystyle g\colon T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .} と表すことができる。 写像は対称的で双線形であるので、 X , Y , Z ∈ T p M {\displaystyle \scriptstyle X,Y,Z\in T_{p}M} が点 p で多様体 M の接ベクトルであれば、任意の実数 a ∈ R {\displaystyle \scriptstyle a\in \mathbb {R} } に対し、 g ( X , Y ) = g ( Y , X ) {\displaystyle \,g(X,Y)=g(Y,X)} g ( a X + Y , Z ) = a g ( X , Z ) + g ( Y , Z ) {\displaystyle \,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)} となる。 g が非退化であることは、すべての Y ∈ T p M {\displaystyle Y\in T_{p}M} に対し g ( X , Y ) = 0 {\displaystyle \,g(X,Y)=0} となるような（0 ではない） X ∈ T p M {\displaystyle X\in T_{p}M} は存在しないことを意味する。
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