計量ポテンシャル Ψ(ρ,z) のニュートン力学における相当物
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/28 09:31 UTC 版)
「ワイル計量」の記事における「計量ポテンシャル Ψ(ρ,z) のニュートン力学における相当物」の解説
式(1)に示されるワイル計量について、 e ± 2 ψ = ∑ n = 0 ∞ ( ± 2 ψ ) n n ! {\displaystyle e^{\pm 2\psi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\pm 2\psi )^{n}}{n!}}} であるから、弱場極限 ψ → 0 において次の近似が成り立つ。 g t t = − ( 1 + 2 ψ ) − O ( ψ 2 ) , g ϕ ϕ = 1 − 2 ψ + O ( ψ 2 ) {\displaystyle g_{tt}=-(1+2\psi )-{\mathcal {O}}(\psi ^{2})\,,\quad g_{\phi \phi }=1-2\psi +{\mathcal {O}}(\psi ^{2})} (9) 従って、次の近似式が帰結する。 d s 2 ≈ − ( 1 + 2 ψ ( ρ , z ) ) d t 2 + ( 1 − 2 ψ ( ρ , z ) ) [ e 2 γ ( d ρ 2 + d z 2 ) + ρ 2 d ϕ 2 ] {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\approx -{\Big (}1+2\psi (\rho ,z){\Big )}\,\mathrm {d} t^{2}+{\Big (}1-2\psi (\rho ,z){\Big )}{\Big [}e^{2\gamma }(\mathrm {d} \rho ^{2}+\mathrm {d} z^{2})+\rho ^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}{\Big ]}} (10) これは、次に示す太陽や地球のような低質量天体の作るよく知られた静的弱重力場に非常によく似ている。 d s 2 = − ( 1 + 2 Φ N ( ρ , z ) ) d t 2 + ( 1 − 2 Φ N ( ρ , z ) ) [ d ρ 2 + d z 2 + ρ 2 d ϕ 2 ] {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\Big (}1+2\Phi _{N}(\rho ,z){\Big )}\,\mathrm {d} t^{2}+{\Big (}1-2\Phi _{N}(\rho ,z){\Big )}\,{\Big [}\mathrm {d} \rho ^{2}+\mathrm {d} z^{2}+\rho ^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}{\Big ]}} (11) ここで、 ΦN(ρ, z) は通常「ニュートンポテンシャル」と呼ばれ、ポアソン方程式 ∇ L 2 Φ N = 4 π ϱ N {\displaystyle \nabla _{L}^{2}\Phi _{N}=4\pi \varrho _{N}} を満たす。これはワイル計量ポテンシャル ψ(ρ, z) が式(3.a)または式(4.a)を満すのと同様の意味を持つ。ψ(ρ, z) と ΦN(ρ, z) の類似性から、ワイル解の研究の際には ψ(ρ, z) のニュートン力学における相当物を想定したくなる。つまり、ψ(ρ, z) を非相対論的にニュートン重力源から導きたくなる。ψ(ρ, z) のニュートン力学における相当物はワイル型の解を指定し、また拡張する際に非常に助けになることが実証されている。
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