近似
近似式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 14:11 UTC 版)
数値解析結果をもとにした、浅見らによる最適パラメータを求める近似式を以下に示す。主系の減衰比ζm < 0.1程度の範囲まで実用的には十分な精度がある。減衰付主系のモデルでは定点は存在しないので、ここでいう定点理論による最適値とは、共振点の高さを等しくすることによる最適値という意味である。 ここで、 ω a = k a m a , ω m = k m m m , μ = m a m m , α = ω a ω m {\displaystyle \omega _{a}={\sqrt {\frac {k_{a}}{m_{a}}}},\ \omega _{m}={\sqrt {\frac {k_{m}}{m_{m}}}},\ \mu ={\frac {m_{a}}{m_{m}}},\ \alpha ={\frac {\omega _{a}}{\omega _{m}}}} c c a = 2 m a k a , ζ a = c a c c a , c c m = 2 m m k m , ζ m = c m c c m {\displaystyle \ c_{ca}=2{\sqrt {m_{a}k_{a}}},\ \zeta _{a}={\frac {c_{a}}{c_{ca}}},\ c_{cm}=2{\sqrt {m_{m}k_{m}}},\ \zeta _{m}={\frac {c_{m}}{c_{cm}}}} とすれば、 最小分散規範による最適値： 主系力加振系（ホワイトノイズ型不規則振動） α o p t = 1 1 + μ 1 + μ 2 − ζ m ( 4 + μ ) μ 8 ( 1 + μ ) 3 ( 2 + μ ) ( 4 + 3 μ ) + ζ m 2 μ ( 192 + 304 μ + 132 μ 2 + 13 μ 3 ) 8 ( 1 + μ ) 2 ( 4 + 3 μ ) 2 2 ( 2 + μ ) 3 − ζ m 3 b 1 16 μ 3 2 ( 1 + μ ) 5 ( 2 + μ ) 5 ( 4 + 3 μ ) 7 {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\alpha _{opt}=&{\frac {1}{1+\mu }}{\sqrt {1+{\frac {\mu }{2}}}}-\zeta _{m}(4+\mu ){\sqrt {\frac {\mu }{8(1+\mu )^{3}(2+\mu )(4+3\mu )}}}\\&+\zeta _{m}^{2}{\frac {\mu (192+304\mu +132\mu ^{2}+13\mu ^{3})}{8(1+\mu )^{2}(4+3\mu )^{2}{\sqrt {2(2+\mu )^{3}}}}}\\&-\zeta _{m}^{3}{\frac {b_{1}}{16}}{\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{2(1+\mu )^{5}(2+\mu )^{5}(4+3\mu )^{7}}}}\\\end{alignedat}}} ζ a o p t = μ ( 4 + 3 μ ) 8 ( 1 + μ ) ( 2 + μ ) − ζ m μ 3 4 ( 1 + μ ) ( 4 + 3 μ ) 2 ( 2 + μ ) 3 + ζ m 2 − 64 − 80 μ + 15 μ 3 32 2 μ 5 ( 1 + μ ) 3 ( 2 + μ ) 5 ( 4 + 3 μ ) 5 + ζ m 3 μ 3 b 2 32 ( 1 + μ ) 2 ( 4 + 3 μ ) 4 2 ( 2 + μ ) 7 {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\zeta _{a\ opt}=&{\sqrt {\frac {\mu (4+3\mu )}{8(1+\mu )(2+\mu )}}}-\zeta _{m}{\frac {\mu ^{3}}{4(1+\mu )(4+3\mu ){\sqrt {2(2+\mu )^{3}}}}}\\&+\zeta _{m}^{2}{\frac {-64-80\mu +15\mu ^{3}}{32}}{\sqrt {\frac {2\mu ^{5}}{(1+\mu )^{3}(2+\mu )^{5}(4+3\mu )^{5}}}}\\&+\zeta _{m}^{3}{\frac {\mu ^{3}b_{2}}{32(1+\mu )^{2}(4+3\mu )^{4}{\sqrt {2(2+\mu )^{7}}}}}\\\end{alignedat}}} ただし、 b 1 = 4096 + 13056 μ + 15360 μ 2 + 8080 μ 3 + 1780 μ 4 + 101 μ 5 {\displaystyle b_{1}=4096+13056\mu +15360\mu ^{2}+8080\mu ^{3}+1780\mu ^{4}+101\mu ^{5}} b 2 = 2048 + 6912 μ + 8064 μ 2 + 3616 μ 3 + 288 μ 4 − 125 μ 5 {\displaystyle b_{2}=2048+6912\mu +8064\mu ^{2}+3616\mu ^{3}+288\mu ^{4}-125\mu ^{5}} 基礎変位加振系（ホワイトノイズ型不規則振動） α o p t = 1 1 + μ 1 + μ 2 − ζ m ( 4 + μ ) μ 8 ( 1 + μ ) 3 ( 2 + μ ) ( 4 + 3 μ ) + ζ m 2 μ ( 704 + 1328 μ + 804 μ 2 + 157 μ 3 ) 8 ( 1 + μ ) 2 ( 4 + 3 μ ) 2 2 ( 2 + μ ) 3 + ζ m 3 b 1 16 μ 2 ( 1 + μ ) 5 ( 2 + μ ) 5 ( 4 + 3 μ ) 7 {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\alpha _{opt}=&{\frac {1}{1+\mu }}{\sqrt {1+{\frac {\mu }{2}}}}-\zeta _{m}(4+\mu ){\sqrt {\frac {\mu }{8(1+\mu )^{3}(2+\mu )(4+3\mu )}}}\\&+\zeta _{m}^{2}{\frac {\mu (704+1328\mu +804\mu ^{2}+157\mu ^{3})}{8(1+\mu )^{2}(4+3\mu )^{2}{\sqrt {2(2+\mu )^{3}}}}}\\&+\zeta _{m}^{3}{\frac {b_{1}}{16}}{\sqrt {\frac {\mu }{2(1+\mu )^{5}(2+\mu )^{5}(4+3\mu )^{7}}}}\\\end{alignedat}}} ζ a o p t = μ ( 4 + 3 μ ) 8 ( 1 + μ ) ( 2 + μ ) − ζ m μ 3 4 ( 1 + μ ) ( 4 + 3 μ ) 2 ( 2 + μ ) 3 + ζ m 2 4096 + 13760 μ + 18608 μ 2 + 12640 μ 3 + 4287 μ 4 + 576 μ 5 32 2 μ 3 ( 1 + μ ) 3 ( 2 + μ ) 5 ( 4 + 3 μ ) 5 + ζ m 3 μ 3 b 2 32 ( 1 + μ ) 2 ( 4 + 3 μ ) 4 2 ( 2 + μ ) 7 {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\zeta _{a\ opt}=&{\sqrt {\frac {\mu (4+3\mu )}{8(1+\mu )(2+\mu )}}}-\zeta _{m}{\frac {\mu ^{3}}{4(1+\mu )(4+3\mu ){\sqrt {2(2+\mu )^{3}}}}}\\&+\zeta _{m}^{2}{\frac {4096+13760\mu +18608\mu ^{2}+12640\mu ^{3}+4287\mu ^{4}+576\mu ^{5}}{32}}{\sqrt {\frac {2\mu ^{3}}{(1+\mu )^{3}(2+\mu )^{5}(4+3\mu )^{5}}}}\\&+\zeta _{m}^{3}{\frac {\mu ^{3}b_{2}}{32(1+\mu )^{2}(4+3\mu )^{4}{\sqrt {2(2+\mu )^{7}}}}}\\\end{alignedat}}} ただし、 b 1 = 65536 + 241664 μ + 369920 μ 2 + 305664 μ 3 + 148720 μ 4 + 43500 μ 5 + 7339 μ 6 + 576 μ 7 {\displaystyle b_{1}=65536+241664\mu +369920\mu ^{2}+305664\mu ^{3}+148720\mu ^{4}+43500\mu ^{5}+7339\mu ^{6}+576\mu ^{7}} b 2 = 524288 + 2818048 μ + 6621184 μ 2 + 8864512 μ 3 + 7377280 μ 4 + 3896224 μ 5 + 1271168 μ 6 + 233491 μ 7 + 18432 μ 8 {\displaystyle b_{2}=524288+2818048\mu +6621184\mu ^{2}+8864512\mu ^{3}+7377280\mu ^{4}+3896224\mu ^{5}+1271168\mu ^{6}+233491\mu ^{7}+18432\mu ^{8}} 定点理論による最適値： 主系力加振系（調和振動） α o p t = 1 1 + μ − ζ m 1 1 + μ 1 2 ( 1 + μ ) ( 3 + 4 μ − 2 ( 2 + μ ) ( 9 + 4 μ ) 2 + μ ) + ζ m 2 b 0 − 4 ( 5 + 2 μ ) 2 ( 2 + μ ) ( 9 + 4 μ ) 4 ( 1 + μ ) 2 ( 2 + μ ) ( 9 + 4 μ ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha _{opt}=&{\frac {1}{1+\mu }}-\zeta _{m}{\frac {1}{1+\mu }}{\sqrt {{\frac {1}{2(1+\mu )}}\left(3+4\mu -{\frac {\sqrt {2(2+\mu )(9+4\mu )}}{2+\mu }}\right)}}\\&+\zeta _{m}^{2}{\frac {b_{0}-4(5+2\mu ){\sqrt {2(2+\mu )(9+4\mu )}}}{4(1+\mu )^{2}(2+\mu )(9+4\mu )}}\\\end{alignedat}}} ζ a o p t = 3 μ 8 ( 1 + μ ) + ζ m 60 + 63 μ + 16 μ 2 − 2 ( 3 + 2 μ ) 2 ( 2 + μ ) ( 9 + 4 μ ) 8 ( 1 + μ ) ( 2 + μ ) ( 9 + 4 μ ) + ζ m 2 b 1 ( A + B ) 2 + μ + b 2 ( A − B ) μ 32 ( 1 + μ ) ( 9 + 4 μ ) μ ( 2 + μ ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\zeta _{a\ opt}=&{\sqrt {\frac {3\mu }{8(1+\mu )}}}+\zeta _{m}{\frac {60+63\mu +16\mu ^{2}-2(3+2\mu ){\sqrt {2(2+\mu )(9+4\mu )}}}{8(1+\mu )(2+\mu )(9+4\mu )}}\\&+\zeta _{m}^{2}{\frac {b_{1}(A+B){\sqrt {2+\mu }}+b_{2}(A-B){\sqrt {\mu }}}{32(1+\mu )(9+4\mu ){\sqrt {\mu (2+\mu )}}}}\\\end{alignedat}}} A = 3 ( 2 + μ ) − μ ( 2 + μ ) {\displaystyle A={\sqrt {3(2+\mu )-{\sqrt {\mu (2+\mu )}}}}} B = 3 ( 2 + μ ) + μ ( 2 + μ ) {\displaystyle B={\sqrt {3(2+\mu )+{\sqrt {\mu (2+\mu )}}}}} ただし、 b 0 = 52 + 41 μ + 8 μ 2 {\displaystyle b_{0}=52+41\mu +8\mu ^{2}} b 1 = − 1296 + 2124 μ + 6509 μ 2 + 5024 μ 3 + 1616 μ 4 + 192 μ 5 {\displaystyle b_{1}=-1296+2124\mu +6509\mu ^{2}+5024\mu ^{3}+1616\mu ^{4}+192\mu ^{5}} b 2 = 48168 + 112887 μ + 105907 μ 2 + 49664 μ 3 + 11632 μ 4 + 1088 μ 5 {\displaystyle b_{2}=48168+112887\mu +105907\mu ^{2}+49664\mu ^{3}+11632\mu ^{4}+1088\mu ^{5}} 基礎変位加振系（調和振動） αoptとζa optの式は、上記の主系力加振系と同形式である。ただし係数は以下のように変わる。 b 0 = 52 + 113 μ + 76 μ 2 + 16 μ 3 {\displaystyle b_{0}=52+113\mu +76\mu ^{2}+16\mu ^{3}} b 1 = − 1296 + 2124 μ + 7157 μ 2 + 5924 μ 3 + 2032 μ 4 + 256 μ 5 {\displaystyle b_{1}=-1296+2124\mu +7157\mu ^{2}+5924\mu ^{3}+2032\mu ^{4}+256\mu ^{5}} b 2 = 48168 + 105111 μ + 91867 μ 2 + 40172 μ 3 + 8784 μ 4 + 768 μ 5 {\displaystyle b_{2}=48168+105111\mu +91867\mu ^{2}+40172\mu ^{3}+8784\mu ^{4}+768\mu ^{5}}
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