ポアソン‐ほうていしき〔‐ハウテイシキ〕【ポアソン方程式】
ポアソン方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:36 UTC 版)
ポアソン方程式（ポアソンほうていしき、英: Poisson's equation）は、2階の楕円型偏微分方程式。方程式の名はフランスの数学者・物理学者シメオン・ドニ・ポアソンに因む。
- 1 ポアソン方程式とは
- 2 ポアソン方程式の概要
- 3 解の構成
- 4 参考文献
ポアソン方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/20 01:31 UTC 版)
静電ポテンシャルの定義とガウスの法則の微分形より、ポテンシャル ϕ {\displaystyle \phi } と電荷密度 ρ {\displaystyle \rho } の間には ∇ 2 ϕ = − ρ ε 0 {\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}} という関係がある。この関係はポアソン方程式とよばれる。ここで ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} は真空の誘電率である。
※この「ポアソン方程式」の解説は、「静電気学」の解説の一部です。
「ポアソン方程式」を含む「静電気学」の記事については、「静電気学」の概要を参照ください。
ポアソン方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/05 05:23 UTC 版)
電磁気学におけるポアソン方程式 Δ φ ( r ) = − ρ ( r ) {\displaystyle \Delta \varphi ({\boldsymbol {r}})=-\rho ({\boldsymbol {r}})} の解 φ ( r ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})} を求めたい。この方程式の解として積分方程式 φ ( r ) = ∫ G ( r , r ′ ) ρ ( r ′ ) d r ′ {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})=\int G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})\rho ({\boldsymbol {r'}})d{\boldsymbol {r'}}} を仮定し、ポアソン方程式に代入するとグリーン関数 G ( r , r ′ ) {\displaystyle G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})} の満たすべき式が得られる。 Δ G ( r , r ′ ) = − δ ( r − r ′ ) {\displaystyle \Delta G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})=-\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}})} これを解くために両辺をフーリエ変換すると、 G ( r , r ′ ) {\displaystyle G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})} のフーリエ変換 g ( k , r ′ ) = e − i k ⋅ r ′ k 2 {\displaystyle g({\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {r'}})={\frac {e^{-i{\boldsymbol {k\cdot r'}}}}{{\boldsymbol {k}}^{2}}}} が得られる。これを逆フーリエ変換するとグリーン関数 G ( r , r ′ ) {\displaystyle G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})} が求まる。 G ( r , r ′ ) = 1 4 π | r − r ′ | {\displaystyle G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})={\frac {1}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}}|}}} よってポアソン方程式の解は次のように求まる。 φ ( r ) = ∫ ρ ( r ′ ) 4 π | r − r ′ | d r ′ {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r'}})}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}}|}}d{\boldsymbol {r'}}} 以上のことから、位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} の点電荷が別の位置 r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r'}}} に作る静電ポテンシャルを表したものがグリーン関数であり、これを重ね合わせたものが電荷分布 ρ ( r ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})} の作る静電ポテンシャル φ ( r ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})} であることがわかる。
※この「ポアソン方程式」の解説は、「グリーン関数」の解説の一部です。
「ポアソン方程式」を含む「グリーン関数」の記事については、「グリーン関数」の概要を参照ください。
ポアソン方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/18 02:01 UTC 版)
詳細は「ポアソン方程式」を参照 ラプラス方程式は既知の関数 f (x, y, z) に関する微分方程式 ∇ 2 ψ = ψ x x + ψ y y + ψ z z = f ( x , y , z ) {\displaystyle \nabla ^{2}\psi =\psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz}=f(x,y,z)} に一般化される。この偏微分方程式をポアソン方程式という。これは質量の存在する重力場や、電荷の存在する静電場など、場に発生源がある場合のポテンシャルを記述する方程式である。
※この「ポアソン方程式」の解説は、「偏微分方程式」の解説の一部です。
「ポアソン方程式」を含む「偏微分方程式」の記事については、「偏微分方程式」の概要を参照ください。
ポアソン方程式と同じ種類の言葉
- ポアソン方程式のページへのリンク
