例2 ポアソン方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 02:41 UTC 版)
ここでの目標は、ある領域 Ω ⊂ R d {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}} 上の次のポアソン方程式 − ∇ 2 u = f {\displaystyle -\nabla ^{2}u=f\,} の解で、境界で u = 0 {\displaystyle u=0} となるようなものを見つけることである。また解空間 V {\displaystyle V} は後述の議論で決定する。弱形式の導出のために、次の L 2 {\displaystyle L^{2}} -スカラー内積を用いる： ⟨ u , v ⟩ = ∫ Ω u v d x . {\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx.} 微分可能な函数 v {\displaystyle v} をテスト函数として用いることで、次が得られる。 − ∫ Ω ( ∇ 2 u ) v d x = ∫ Ω f v d x . {\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.} この方程式の左辺は、グリーンの恒等式を用いた部分積分により、より対称的な次の形式で記述できる。 ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d x = ∫ Ω f v d x . {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.} これは正しくポアソン方程式の弱形式と通常呼ばれるものである。ここで空間 V {\displaystyle V} を定義する必要がある。この空間は、この方程式を導けるものでなければならない。したがってこの空間における導函数は二乗可積分である必要がある。実際、ゼロ境界条件で、弱微分が L 2 ( Ω ) {\displaystyle L^{2}(\Omega )} に属す函数からなるソボレフ空間 H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )} を考えれば、目的は満たされる。 次のように記号を定めることで、一般的な形を得ることが出来る： a ( u , v ) = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d x {\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx} および f ( v ) = ∫ Ω f v d x . {\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}
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