例1：線型連立方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 02:41 UTC 版)
V = R n {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} と A : V → V {\displaystyle A:V\to V} を線型写像とする。このとき、方程式 A u = f {\displaystyle Au=f} の弱形式は、すべての v ∈ V {\displaystyle v\in V} に対して次の方程式を満たす u ∈ V {\displaystyle u\in V} を見つけることとなる。 ⟨ A u , v ⟩ = ⟨ f , v ⟩ {\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle \,} ここで ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は内積を表す。 A {\displaystyle A} は線型写像なので、基底ベクトルに対して調べれば十分である。すると ⟨ A u , e i ⟩ = ⟨ f , e i ⟩ i = 1 , … , n {\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle \quad i=1,\ldots ,n\,} が得られる。実際、 u = ∑ j = 1 n u j e j {\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}} と展開することで、次の行列の形式での方程式が得られる。 A u = f . {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} .} ここで a i j = ⟨ A e j , e i ⟩ {\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle } および f i = ⟨ f , e i ⟩ {\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle } である。 この弱形式に関連する双線型形式は、次で与えられる。 a ( u , v ) = v T A u . {\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}
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