例2への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 02:41 UTC 版)
上述のように、 V = H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )} とし、ノルムは次で定める。 ‖ v ‖ V := ‖ ∇ v ‖ {\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|} ここで右辺のノルムは Ω {\displaystyle \Omega } 上での L 2 {\displaystyle L^{2}} -ノルムである（ポアンカレ不等式により、これは正しく V {\displaystyle V} 上のノルムを与える）。しかし、 | a ( u , u ) | = ‖ ∇ u ‖ 2 {\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}} であり、コーシー＝シュワルツの不等式より次が成り立つ： | a ( u , v ) | ≤ ‖ ∇ u ‖ ‖ ∇ v ‖ {\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|} 。 したがって、任意の f ∈ [ H 0 1 ( Ω ) ] ′ {\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'} に対して、ポアソン方程式の唯一つの解 u ∈ V {\displaystyle u\in V} が存在し、次の評価が得られる。 ‖ ∇ u ‖ ≤ ‖ f ‖ [ H 0 1 ( Ω ) ] ′ . {\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}
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