例2:偏角の原理とは? わかりやすく解説

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例2:偏角の原理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/01/03 01:42 UTC 版)

留数」の記事における「例2:偏角の原理」の解説

留数定理の系として、偏角定理あるいは偏角の原理などと呼ばれる次のような定理を得ることができる。 定理 単純閉曲線 γ の囲む有界領域 D の閉包を E とし、E 上で定義される有理型関数 f(z) は γ 上に零点持たないとする。このとき、f(z) の D 内での零点有限個である。重複度まで込めた零点個数を n、極の個数を m とすると 1 2 π i ∮ γ d log ⁡ f ( z ) = n − m {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }d\!\log f(z)=n-m} が成り立つ。さらに一般に重複度込み零点が a1, a2, …, an、b1, b2, …, bm であるとすると、E 上の任意の正則関数 g(z) に対して 1 2 π i ∮ γ g ( z ) d log ⁡ f ( z ) = ∑ j = 1 n g ( a j ) − ∑ k = 1 m g ( b k ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }g(z)\,d\!\log f(z)=\sum _{j=1}^{n}g(a_{j})-\sum _{k=1}^{m}g(b_{k})} が成立する

※この「例2:偏角の原理」の解説は、「留数」の解説の一部です。
「例2:偏角の原理」を含む「留数」の記事については、「留数」の概要を参照ください。

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