例２：角運動量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 05:35 UTC 版)
G δ = ε i j k ϵ i p j q k {\displaystyle G_{\delta }=\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}p^{j}q^{k}} とすると、 δ A = ε i j k ϵ i { A , p j q k } = ε i j k ϵ i ( ∂ A ∂ q α ∂ p j q k ∂ p α − ∂ A ∂ p α ∂ p j q k ∂ q α ) = ε i j k ϵ i ( ∂ A ∂ q j q k − ∂ A ∂ p k p j ) = ε i j k ϵ i ( ∂ A ∂ q j q k + ∂ A ∂ p j p k ) {\displaystyle {\begin{aligned}\delta A&=\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}\{A,p^{j}q^{k}\}=\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{\alpha }}}{\frac {\partial p_{j}q_{k}}{\partial p_{\alpha }}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{\alpha }}}{\frac {\partial p_{j}q_{k}}{\partial q_{\alpha }}}\right)\\&=\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{j}}}q_{k}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}p_{j}\right)=\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{j}}}q_{k}+{\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}p_{k}\right)\end{aligned}}} ここで ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} は レヴィ=チヴィタ記号である。 A ( q i , p i ) → A ( q i , p i ) + ε i j k ϵ i ( ∂ A ∂ q j q k + ∂ A ∂ p j p k ) = A ( R i j q j + , R i j p j ) {\displaystyle A(q^{i},p^{i})\rightarrow A(q^{i},p^{i})+\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{j}}}q_{k}+{\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}p_{k}\right)=A(R^{ij}q^{j}+,R^{ij}p^{j})} ここで R i j {\displaystyle R^{ij}} は無限小回転である。よって角運動量は空間回転の生成子である。
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