例：2つの標準正規分布の比の確率密度関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/02 15:56 UTC 版)
「確率密度関数」の記事における「例：2つの標準正規分布の比の確率密度関数」の解説
標準正規分布に従う確率変数 U, V について、その比（商）の確率密度関数は次のように求められる。 まず、確率変数はそれぞれ下記の確率密度関数を持つ。 p ( U ) = 1 2 π e − U 2 2 {\displaystyle p(U)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {U^{2}}{2}}}} p ( V ) = 1 2 π e − V 2 2 {\displaystyle p(V)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {V^{2}}{2}}}} これを先に述べたように変換する。 Y = U / V {\displaystyle Y=U/V} Z = V {\displaystyle Z=V} これから、 p ( Y ) = ∫ − ∞ ∞ p U ( Y Z ) p V ( Z ) | Z | d Z = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − 1 2 Y 2 Z 2 1 2 π e − 1 2 Z 2 | Z | d Z = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − 1 2 ( Y 2 + 1 ) Z 2 | Z | d Z = 2 ∫ 0 ∞ 1 2 π e − 1 2 ( Y 2 + 1 ) Z 2 Z d Z = ∫ 0 ∞ 1 π e − ( Y 2 + 1 ) u d u u = 1 2 Z 2 = − 1 π ( Y 2 + 1 ) e − ( Y 2 + 1 ) u ] u = 0 ∞ = 1 π ( Y 2 + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p(Y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(YZ)\,p_{V}(Z)\,|Z|\,dZ\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}Y^{2}Z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}Z^{2}}|Z|\,dZ\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(Y^{2}+1)Z^{2}}|Z|\,dZ\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(Y^{2}+1)Z^{2}}Z\,dZ\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-(Y^{2}+1)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}Z^{2}\\&=\left.-{\frac {1}{\pi (Y^{2}+1)}}e^{-(Y^{2}+1)u}\right]_{u=0}^{\infty }\\&={\frac {1}{\pi (Y^{2}+1)}}\end{aligned}}} が導かれる。これは、標準コーシー分布である。
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