例1：実軸上の積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/03 01:42 UTC 版)
留数定理を用いると、例えば ∫ − ∞ ∞ d x ( 1 + x 2 ) n + 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}} のような積分が計算できる。まず、f(x) = 1 /(1 + x2)n + 1 を複素領域へ拡張した f(z) を考えると、これは z = ±i に極を持つ。十分大きな R > 0 を取り、区間 [−R, R] を直径とする原点中心の半円板で z = i を含むほうの周を C0、C0 から直径 [−R, R] を除いた部分を C とする。実軸上を正の向きに進むものとして C0 上で f(z) を積分すれば ∫ C 0 d z ( 1 + z 2 ) n + 1 = ∫ − R R d x ( 1 + x 2 ) n + 1 + ∫ C d z ( 1 + z 2 ) n + 1 {\displaystyle \int _{C_{0}}{{\mathit {dz}} \over (1+z^{2})^{n+1}}=\int _{-R}^{R}{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}+\int _{C}{{\mathit {dz}} \over (1+z^{2})^{n+1}}} である。このとき C が十分大きければ R に依らず、C0 の囲む領域内で f(z) は (n + 1)-位の極 z = i をもち、かつそれ以外には特異点を持たないから、留数定理により左辺は 2 π i Res z = i f ( z ) = 2 π i n ! lim z → i d n d z n ( ( z − i ) n + 1 ( 1 + z 2 ) n + 1 ) = 2 π i n ! d n d z n 1 ( z + i ) n + 1 | z = i = π ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}2\pi i\,\operatorname {Res} \limits _{z=i}\,f(z)&={2\pi i \over n!}\lim _{z\to i}{d^{n} \over {\mathit {dz}}^{n}}\!\left({\frac {(z-i)^{n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}\right)\\&={2\pi i \over n!}\left.{d^{n} \over {\mathit {dz}}^{n}}{1 \over (z+i)^{n+1}}\right|_{z=i}={\pi (2n)! \over 2^{2n}(n!)^{2}}\end{aligned}}} となる。一方、右辺第二項は R → ∞ のとき 0 に収束するので、結局 π ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 = ∫ − ∞ ∞ d x ( 1 + x 2 ) n + 1 {\displaystyle {\pi (2n)! \over 2^{2n}(n!)^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}} を得る。
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