ポアソン比の範囲
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/25 04:53 UTC 版)
材料が等方性の場合、単位体積当たりのひずみエネルギーであるひずみエネルギ関数 U0 は以下のように示される。 U 0 = E ν 2 ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ( ε x + ε y + ε z ) 2 + G { ( ε x 2 + ε y 2 + ε z 2 ) + 1 2 ( γ x y 2 + γ y z 2 + γ z x 2 ) } {\displaystyle U_{0}={\frac {E\nu }{2(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})^{2}+G\left\{(\varepsilon _{x}^{2}+\varepsilon _{y}^{2}+\varepsilon _{z}^{2})+{\frac {1}{2}}(\gamma _{xy}^{2}+\gamma _{yz}^{2}+\gamma _{zx}^{2})\right\}} ここで、E:ヤング率、G:剛性率、ε:垂直ひずみ、γ:せん断ひずみである。 ひずみエネルギ関数は正値形式を取るので、 U 0 ≥ 0 {\displaystyle U_{0}\geq 0} を満たすにはポアソン比 ν の取り得る範囲は以下のように決まる。 − 1 < ν < 1 / 2 {\displaystyle -1<\nu <1/2} 下限の −1 は、形状一定（縦ひずみ ＝ 横ひずみ：つまり荷重方向に直角な方向にも伸びが生じ，立方体の形状が保たれるような変化を表す）を意味する。上限の 1/2 は、下記のように微小ひずみの範囲で体積一定を意味する。 変形による体積変化を考察する。縦方向に引張・圧縮の単軸荷重を受けるとき、縦方向方向の寸法変化は (1 + ε) 倍となる。一方、横方向の寸法は (1 − νε) 倍となり、断面積変化は (1 − νε)2 倍となる。よって体積変化は (1 + ε)(1 − νε)2 = (1 - 2νε + ε − 2νε2 + ν2ε2 + ν2ε3) 倍となる。ひずみ ε が微小範囲とすれば、ε の高次の項を無視できるので、体積変化は (1 − 2νε + ε) 倍となる。このとき、ν が 1/2 であれば、ε の値にかかわらず体積変化は常に1倍となり体積変化無し・体積一定となる。 上記のように理想的な条件ではポアソン比は負の値を取り得るが、実際の物質で負の値を示すものはごく稀にしか存在しない。負のポアソン比を示す数少ない例としてクリストバライト（SiO2からなる結晶）がある。また、ペンタグラフェン（五角形のグラフェン）、内部にハニカム構造を持つ材料には負のポアソン比を示すものがある。
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